三自由度冗余驱动飞行模拟器设计及分析
周昌春1, 葛德俊2     
1. 北京交通大学 机器人研究中心, 北京 100044;
2. 三一重型装备有限公司, 沈阳 110027
摘要: 提出一种三转动自由度冗余驱动飞行模拟器。在3-RRR球面并联机构的基础上,通过球面平行四边形机构的引入而实现冗余驱动,从而克服电机驱动相对于液压驱动功率相对较小的缺点。将一般3-RRR球面并联机构的参数进行变化,从而设计出体积相对较小的运动机构。利用空间球面解析理论建立了各支链的方向余弦,在方向余弦建立的基础上给出机构的雅可比矩阵。利用支链夹角不变原理建立了机构的约束方程,进行了运动学反解分析。考虑球面平行四边形冗余驱动支链的干涉情况,根据向量叉积定理计算得出了输入转角范围,并通过一种数值正解算法计算得到机构给定输入参数的工作空间。分析结果表明,在给定特定结构参数的情况下,所提出的飞行模拟器具有转角大的优点,远远大于传统的Stewart机构,从而为飞行模拟器的实际应用提供一种新的选择。
关键词: 飞行模拟器     球面并联机构     雅可比矩阵     数值正解     运动分析    
Designing and Analyzing Kinematics of 3-DOF Redundant-actuation Flight Simulator
Zhou Changchun1, Ge Dejun2     
1. Research Center of Robot, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China;
2. Sany Heavy Equipment Co., Ltd., Shenyang 110027, China
Abstract: A three-degree-of-freedom (3-DOF) rotational redundant-actuation flight simulator is proposed. It includes three degrees of freedom, six actuators and 3 redundant actuators. Based on the 3-DOF RRR spherical parallel manipulator, the parallelogram mechanism is introduced to accomplish the redundant actuation so that the flight simulator can be manipulated by enough power. The use of the parallelogram mechanism improves the stiffness and overcomes the drawback of the low power of an electric motor compared with hydraulic power. The parameters of 3-DOF spherical parallel manipulator are changed to gain the smallest volume of the manipulator of the flight simulator relatively. Direction-cosine is built with the analytically spherical theory; then the Jacobian matrix is established based on the direction-cosine. The inverse kinematics is solved with the constant intersection angle principle and the constraint equations are established at the same time. The interference that limits the input angles of the parallelogram mechanism is considered, so that the ranges of input angle are gained by the cross vector product theorem. Based on the range of input angles, an effective numerical algorithm of forward kinematics and inversely kinematical equations and the workspace volume are obtained. The results show that the volume of flight simulator proposed in this paper is apparently larger than the Stewart parallel manipulator.
Key words: parallel manipulator     spherical parallel manipulator     flight simulator     Jacobian matrix     forward kinematics    

机构的创新主要有4类方法:根据自由度计算公式的枚举综合方法、基于位移子群或者单开链理论的运动综合方法、基于螺旋理论的约束综合方法以及构型演化方法等[1]。前3种方法属于机构原始创新方法, 可以发明大量新机构, 但是这3种方法发明的新机构一般在实际应用中无法直接使用。而构型演变方法则可以在前3种创新方法的基础上, 考虑工程实际需要, 进行构型演变, 从而使新发明的机构用于实际工程当中。

具有3个转动自由度的并联机构被证明可以用来作为飞行模拟器来使用[2]。利用构型演变方法, 国内外学者对3-RRR球面并联机构进行了构型演变创新, 从而使球面3-RRR并联机构被用于很多领域。1985年ASADA首先提出一般三自由度3-RRR球面并联机构[3], 1989年Cox和Tesar[4]提出用一般3-RRR球面并联机构作为机器人的肩关节使用。随后, Gosselin[5]发表了一系列文章分析了一般三自由度3-RRR球面并联机构, 并于1997年将3-RRR球面并联机构用作摄像头的姿态变换装置, 并命名为“Agile eye”。2001年, 曾宪菁等[6]将3-RRR球面并联机构用于数控回转台。2002年, Birglen等[7]将其用于触觉传感器上, 用来反馈力的信息。2003年, 孙立宁等[8]将3-RRR解耦球面并联机构用于腕关节的设计, 张顺心[9]将球面并联机构用于太阳追踪装置。2006年, 战丽娜[10]将3-RRR球面并联机构用于肩关节设计。2011年, 崔冰燕[11]将一种正交球面并联机构用于肩关节的设计。2013年, Li[12]将3-RRR球面并联机构用于髋关节设计。

本文采用3-RRR球面并联机构作为飞行模拟器的运动机构。由于3-RRR球面并联机构全部为转动副组成, 为了提高支链刚度和驱动功率, 采用冗余驱动策略[13-14]。首先给出了一般3-RRR球面并联机构构型, 然后通过变化参数, 将一般球面并联机构演变为可以用于飞行模拟器运动机构的半球结构, 通过球面平行四边形的引入来实现超冗余驱动。对平行四边形干涉位置的分析确定输入转角的范围, 从而确定工作空间范围。

1 机构描述及构型演变 1.1 一般3-RRR机构

图 1所示一般3-RRR球面并联机构, 所有关节均在同一个球面上, 并且所有关节转动轴线均交于球心O, 主动关节Ci, 被动关节为BiAi(i=1, 2, 3)。在球心处建立定坐标系O-xyz和动坐标系O′-uvw, 它们初始位置完全重合, 在定坐标系中z轴与连线ON重合, 方向向上, x轴是连线ONC1 O轴线所构成平面的法线方向, 方向向右, y轴符合右手坐标系规则。在动坐标系中, w轴与连线OM重合, 方向向上, u轴由w轴和A1O所构成平面的法线方向, 方向向右, v轴由右手定则确定; MN分别是正三角形ΔA1A2A3ΔC1C2C3的几何中心, 且平面OMAi与平面ONCi在初始位置重合。

图 1 一般3-RRR球面并联机构参数
1.2 球面平行四边形机构

球面平行四边形机构如图 2所示, 在同一个球体上, 轴线1和轴线2的夹角大小为, 轴线2与轴线3的夹角大小为, 轴线3与轴线4的夹角大小为, 轴线1与轴线4的夹角大小为

图 2 球面平行四边形机构

当满足条件, 且时, 该球面四边形机构为球面平行四边形机构。显然, 当固定连杆3和4时, 球面连杆1, 4、连杆2, 3具有相同的运动特性, 同时将轴3和轴4用于输入则可以实现冗余驱动, 从而球面平行四边形机构可以作为冗余驱动连杆来替代一般3-RRR球面并联机构的驱动连杆。

1.3 一般球面3-RRR并联机构的演化

图 1所示3-RRR球面并联机构为普遍使用的, 其结构参数:γ1=γ2=γ3=120°; γ1=γ2=γ3=120°; α1=α2=90°; β1=β2=54.7°。其中α1为转动副CiBi的轴线夹角, α2为转动副BiAi的轴线夹角; 0° < α1 < 90°, 0° < α2 < 90°; β1为连线OM与转动副Ai轴线的夹角, β2为连线ON与转动轴线Ci的夹角, 0° < β1 < 180°, 0° < β2 < 180°。当β1=90°, β2=35°, α1=α2=35°, σ=21.5°, 0° < σ < 60°, 主动关节用球面平行四边形机构替换时, 图 1演变为图 3结构; AiO轴在初始位置处于水平状态, 此时飞行模拟器转动中心位于座仓底部中心(即球心); 这种方案可以保证飞行模拟器座舱底面积最大, 从而设计出体积相对较小的飞行模拟器运动机构。如图 3, BiCi分别是圆弧和圆弧的中点。图 4为超冗余驱动飞行模拟器概念设计。

图 3 超冗余驱动球面并联机构
图 4 超冗余驱动飞行模拟器概念设计
2 方向余弦与雅可比矩阵 2.1 方向余弦

方向余弦的建立是最重要的基础工作, 利用空间球面解析理论[15], 首先建立Bi轴和Ci轴方向余弦, Ai轴的方向余弦直接写出, θiθi1θi2为输入角参数, 在定坐标系下有:

    (1)
    (2)
    (3)
    (4)
    (5)

在动坐标系下

    (6)

在定坐标系下

    (7)

式中:为绕z轴的旋转变换矩阵, ; T为动坐标系u-v-w式旋转欧拉角变换矩阵, 其中λ, ε, ν代表姿态角参数, 分别代表偏航、俯仰和翻转。

姿态角参数在动坐标系中的位置如图 5所示。

图 5 姿态角参数在动坐标系中的位置
2.2 雅可比矩阵

雅可比矩阵一般是指机构输入速度与输出速度的映射关系。虽然引入了平行四边形机构作为驱动支链, 但是整个3-RRR球面并联机构的运动性质并没有发生改变, 雅可比矩阵也没有发生变化, 利用文献[12]的方法知, 超冗余球面并联机构的雅可比矩阵由下列矩阵获得

    (8)
    (9)

雅可比矩阵定义为J=P-1Q, 从而表示从动平台到定平台的速度映射关系, 即从输出速度至输入速度的关系。

3 位置逆解

位置逆解是在已知动平台姿态角度情况下求输入角度的计算。Gosselin[16]对3-RRR球面并联机构进行了详细研究, 由于Ai轴与Bi轴夹角始终不变, 利用Gosselin方法。

    (10)

    (11)

式(11) 经过化简得

    (12)

式中:

xi=tan(θi/2), 则

    (13)

式(12) 变化为

    (14)

进一步化简为

    (15)

其中:

由式(15) 可以解得

    (16)

最终解得

    (17)
4 干涉分析

当如图 6所示时, 球面平行四边形机构发生干涉。此时可以确定输入转角范围θmin < θi1 < θmax, 则可以利用运动学正解方法求出姿态变化范围, 从而确定工作空间。

图 6 输入支链干涉位置

图 6支链中的球面平行四边形机构, 向量V1与向量V2的夹角δ可以通过它们的叉积确定, 当满足条件方程(18) 时, 发生干涉。

    (18)

其中,

    (19)

向量的表达式为:

在单位球上, 当r=0.05, α1=α2=35°, σ=21.5°时, 联立方程(18) 和(19) 求解得δ≈14.5°, 输入角参数θ11≈±106.5°, 如图 7, 逆时针为正, 顺时针为负。此时θ11的范围应满足:

    (20)

从而保证不干涉。其余所有输入角范围与θ11相同。

图 7 输入角θ的位置
5 工作空间

确定输入角范围以后, 利用数值正解算法[17]确定飞行模拟器的姿态变化范围, 从而确定工作空间。当β1=90°, β2=35°, α1=α2=35°, σ=21.5°时, 取式(19) 中的“+”或者“-”对应106.5° < θ11≤180°和-180°≤θ11 < -106.5°, 通过数值分析软件Mathematica计算得到工作空间图形, 如图 8。数值正解算法程序流程图如图 9

图 8 工作空间
图 9 数值正解算法程序流程图
6 结论

1) 利用构型演变方法将球面3-RRR并联机构用于飞行模拟器的设计, 通过球面平行四边形机构的引入实现冗余驱动, 从而实现运动机构大功率运行。

2) 以运动学正、反解和雅可比矩阵为基础, 分析了该机构的工作空间。从三维图中可以看到3个运动转角远远大于传统Stewart并联机构, Stewart并联机构最大转角不超过30°。而所设计的飞行模拟器在给定特定参数下至少可以绕z轴转动超过90°, 绕x轴和y轴最大转角至少可以达到70°。然而输入角参数变化范围与σ的关系以及与α1α2的关系仍然有待进一步讨论。

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DOI: 10.13433/j.cnki.1003-8728.2017.0924
中华人民共和国工业和信息化部主管、西北工业大学主办。
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文章信息

周昌春, 葛德俊
Zhou Changchun, Ge Dejun
三自由度冗余驱动飞行模拟器设计及分析
Designing and Analyzing Kinematics of 3-DOF Redundant-actuation Flight Simulator
机械科学与技术, 2017, 36(9): 1458-1463
Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering, 2017, 36(9): 1458-1463.
DOI: 10.13433/j.cnki.1003-8728.2017.0924

文章历史

收稿日期:2016-05-19

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