发动机复合材料连杆传热的无网格模型与应用
周国强, 张建平, 龚曙光, 胡胜     
湘潭大学 机械工程学院, 湖南湘潭 411105
摘要: 利用无网格伽辽金法(Element-free galerkin,EFG)建立了发动机复合材料连杆的传热计算模型,推导了正交各向异性结构的无网格法传热控制方程,通过复合材料平板验证了该模型对混合边界条件传热问题有很好的适应性。利用EFG法计算了不同各向异性因子的复合材料连杆的温度场,并讨论了EFG节点数对精度的影响。结果表明,EFG法的温度计算精度比有限元法高,且各向异性因子小于1时能较好地改善连杆小头的温度场分布,连杆设计时宜选择横向导热系数比纵向大的复合材料。
关键词: 发动机     复合材料     传热     无网格伽辽金法     正交各向异性    
Meshless Model and Application for Heat Transfer of Engine Composite Materials Connecting Rod
Zhou Guoqiang, Zhang Jianping, Gong Shuguang, Hu Sheng     
School of Mechanical Engineering, Xiangtan University, Hunan Xiangtan 411105, China
Abstract: A calculation model for heat transfer analysis of internal combustion engines composite materials connecting rod was established with the element-free galerkin (EFG) method, and the heat transfer governing equation for the orthotropic structure based on the meshless method was deduced. The numerical example of composite materials plate was used to verify that the meshless model has a good adaptability for the heat transfer problem under the mixed boundary conditions. The temperature field of the composite materials connecting rod with different anisotropy factor was calculated with EFG method, and the effect of the EFG node number on the calculation accuracy was discussed. The result shows that the temperature based on the EFG method has a higher accuracy than that via FEM, and the temperature distribution of connecting rod small end can be greatly improved when the anisotropy factor is less than 1. The composite materials with the transverse thermal conductivity more than the vertical should be chosen for designing the internal combustion engines connecting rod.
Key words: engine     composite     heat transfer     element-free galerkin method     orthotropy    

连杆组件的设计分析是发动机综合性能研究的热点问题之一[1-2], 尤其是复合材料连杆具有优良的力学性能, 能满足发动机轻量化设计和热强度要求[3]

目前, 发动机连杆的传热分析方法主要有有限体积法(Finite volume method, FVM)和有限元法(Finite element method, FEM)等[4], 但它们都是基于网格的数值计算, 在计算时需要精细的网格划分且容易出现负雅可比单元[5]。无网格法作为一种新兴的数值计算方法, 节点布置灵活且无单元连续性要求, 在工程传热问题数值计算中已得到应用。陶文铨等[6]利用无网格局部Petrov-Galerkin法(Meshless local petrov-galerkin, MLPG)研究了二维不规则区域的稳态热传导问题; 张建平等[7-8]分别利用无网格重构核粒子法(Reproducing kernel particle method, RKPM)和光滑点插值法分析了发动机活塞的二维和三维传热性能。目前, 无网格Galerkin法(EFG)是众多无网格法中最成熟的一种, 在计算力学和数值传热学等很多领域已得到广泛应用[9]。Yang等[10]基于EFG法模拟了传热的相变过程; Zhang等[11]采用EFG法研究了瞬态传热问题; Singh等[12]利用EFG法分析了平板的稳态传热。但上述研究大多局限于各向同性或简单几何域的各向异性传热问题。

本文利用EFG法建立正交各向异性复合材料结构的传热计算模型, 并编写程序将其应用到具有复杂几何结构的发动机复合材料连杆传热问题中。

1 无网格EFG法理论

无网格伽辽金法利用移动最小二乘(Moving least squares, MLS)近似逼近未知标量场函数T(x)[13], 其定义在xT(x)的MLS近似表达式为

    (1)

式中:p(x)为二维空间坐标xT=[x, y]的基函数, 为确保基函数p(x)的最小完备性, 通常取Pascal三角形所决定的单项式, 采用单纯的多项式基; a(x)为一系列系数向量, 是x的函数, 通过对泛函J求驻点值得到。

泛函J是未知场变量节点参数值和其近似值而构成的加权残量,

    (2)

式中:n为包含在权函数ω(x-xi)≠0的x支持域中的节点数; TiTx=xi处的节点参数。由于MLS近似式中的节点数n通常大于未知系数m, 故近似函数Th(x)将不通过节点值。其中, 系数向量a(x)

    (3)

式中:Ts为支持域中所有节点的节点场函数参数所形成的向量, 矩阵A、B定义为

    (4)
    (5)

将式(3) 代入式(1) 可得到

    (6)

式中:ΦT(x)为对应于点x的支持域中n个节点的MLS形函数, 定义为

    (7)

其中, 节点i处形函数定义为

    (8)

由式(8) 可以看出, 权函数的光滑性对MLS形函数Φ的连续性有着重要作用。本文中选用具有二阶连续性的三次样条函数。

2 复合材料连杆传热的EFG法模型 2.1 复合材料结构传热的基本方程

设笛卡尔坐标平面内传热主轴(ξ, η)相对坐标轴(x, y)偏转θ角, 坐标(x, y)上的热流密度可表示为

    (9)

式中, 导热系数的二阶张量λ定义为

    (10)

式中:λij(i, j=1, 2) 表示j方向上单位温度梯度分量在i方向所能引起的热流密度分量, 根据昂赛格(Onsager)原理, λij=λji, λii>0, λijλji-λij2>0, (i, j=1, 2且ij); 为变换矩阵; λξλη为主导热系数。本文中主要分析传热主轴与坐标轴(x, y)重合时传热问题, 即θ=0°。

在分析常物性复合材料稳态传热问题时, 其二维传热控制方程为

    (11)

式中:T为温度; λxλy分别为xy方向的导热系数; 为内部单位面积热生成率; Ω传热区域。

该方程满足以下3类传热边界:

1) 第一类传热边界条件

    (12)

2) 第二类传热边界条件

    (13)

3) 第三类传热边界条件

    (14)

式中:nxny是边界外法线方向余弦; 为给定温度值; q为给定热流量; h为对流换热系数; Tf为周围介质温度。其中, 全域热边界Γ=Γ1+Γ2+Γ3

2.2 复合材料连杆传热的EFG法离散控制方程

利用加权残量法, 取温度变分δT为检验函数, 并采用分部积分法, 得二维热导热控制方程(11) 的等效积分弱形式为

    (15)

由于EFG法的形函数不满足Kronecker delta性质, 故用罚函数法处理本质边界条件, 得

    (16)

将无网格法近似函数(6) 代入式(16), 整理得

    (17)

式中:矩阵T为节点当量温度向量; 矩阵K、F分别为整体节点温度刚度矩阵和整体节点热载荷矩阵且定义为:

    (18)
    (19)

式中:α为惩罚因子; i, j点形函数。

3 传热模型验证与算例分析 3.1 复合材料结构EFG法传热模型的验证

首先选择一个具有解析解的传热问题来检验本文所建立EFG传热模型的正确性。方形平板边长0.1 m, 左边界绝热, 右、上边界的环境温度为25 ℃, 介质表面对流换热系数160 W/(m2·K), 底边为600 ℃的恒温边界。复合材料x方向热导率λx=10 W/(m·K), 又令λy=r·λx, 其中, r表示正交各向异性因子, 并取值0.2、1、5, 而r=1时为各向同性。

图 1所示, 计算域分别用11×11个规则分布的节点和121个随机分布的节点进行离散, 并将两种计算域离散方式下A、B、C这3点处的温度值与参考文献[14]解析解对比。

图 1 方形平板的无网格离散域

表 1看出, 当边界为第一、二、三类混合边界时, 在不同各向异性因子下, 节点无论是规则分布, 还是随机分布, A、B、C这3点处的EFG值与与FEM值及解析值的相对误差均较小。

表 1 温度EFG解与FEM解和解析解对比
r对比项节点位置
ABC
0.2Ⅰ分布EFG值227.33152.116 9135.231
Ⅱ分布EFG值227.31352.105 3134.782
FEM解227.1652.012135.62
参考解227.31152.108135.012
1Ⅰ分布EFG值386.691195.650248.494
Ⅱ分布EFG值386.878195.625248.198
FEM值387.15195.69248.05
参考解386.756195.635248.261
5Ⅰ分布EFG值524.963436.269386.466
Ⅱ分布EFG值525.025436.240386.441
FEM解525.19436.67386.53
参考解525.013436.250386.441

图 2所示为沿右边界上节点在不同各向异性因子时的温度值。

图 2 沿右边界上节点在不同各向异性因子时的温度值

图 2中可以看出, 沿右边界上节点的EFG解比FEM解更逼近解析解, 从而验证了本文所建立EFG传热模型和计算程序是正确可行的, 而且材料热传导的各向异性对温度场分布有明显影响。

3.2 复合材料连杆的EFG法传热分析

图 3所示为某复合材料连杆的基本结构及几何尺寸, 利用无网格EFG传热模型分析其传热问题。假定大头内壁恒温50 ℃, 小头内壁恒温130 ℃, 余下边界为对流换热边界, 对流换热系数80 W/(m2·K), 环境温度为30 ℃。复合材料x方向导热系数λx=50 W/(m·K), y方向导热系数与x方向的比值为r。其中, r表示正交各向异性因子, 分别取两组纵横比互补的复合材料进行对比分析, 并取值0.02、0.1、1、10、20, 当r=1时表示各向同性。

图 3 发动机复合材料连杆几何模型

将该连杆传热作为二维平面问题处理, 利用3 300个单元进行网格划分, 并取对应网格所生成的1 883个节点来离散计算域, 如图 4所示。

图 4 连杆FEM和EFG离散域

图 5~图 9所示连杆温度分布云图中发现, 无网格EFG温度场与FEM温度场基本吻合, 说明所建立无网格EFG传热模型对这种复杂几何形状和第一、三类混合传热边界的工程问题仍有较好计算精度。此外, 当r < 1时, 复合材料连杆的传热主要以横向为主, 连杆小头的温度比各向同性材料连杆的要低, 能较好地改善连杆小头的温度场分布, 尤其是连杆孔与腹板过渡段的温度显著降低; 当r>1时, 复合材料连杆的传热主要以纵向为主, 连杆小头的温度分布和各向同性材料连杆的比较接近, 温度从连杆小头向大头逐渐降低, 对改善连杆小头的温度分布效果不明显。

图 5 各向异性因子r=0.05温度场对比
图 6 各向异性因子r=0.1温度场对比
图 7 各向异性因子r=10温度场对比
图 8 各向异性因子r=20温度场对比
图 9 各向同性r=1温度场对比

因此, 在连杆的纤维增强复合材料铺层设计和制造过程中, 横向尽可能选择导热系数大的材料, 而纵向宜选择导热系数小的材料, 使主传热偏于横向, 而且大头和小头处宜采用同心环状铺层, 以避免热负荷过度集中。

为进一步比较计算值, 在连杆上定义如图 3所示的AB路径, 并参照文献[15]的方法定义一个参考解(极细密节点分布下的有限元解收敛于真实解)。在不同各向异性因子下, EFG和FEM温度场沿HM路径计算值与参考解的对比如图 10所示。

图 10 路径AB上温度值

图 10中可以看出, EFG解与FEM解的计算误差均较小且都在参考解上方, 但EFG解更靠近参考解, 具有更高的计算精度。无网格EFG法虽然计算量较大, 但它无单元连续性要求, 可以构造出高阶场函数及更高的光滑性, 提高了计算精度。

表 2给出了不同各向异性因子下, 连杆计算域由360、553、917、1 883、2 741个节点离散时, 沿路径AB上节点的EFG值相对参考解的计算误差。

表 2 离散节点数对温度EFG解计算误差的影响
%
EFG节点数3605539171 8832 741
r=0.051.608 11.661 80.642 20.350 30.221 2
r=0.11.279 51.350 40.478 70.220 50.111 5
r=10.654 60.769 10.222 90.061 60.012 6
r=100.308 70.394 20.026 70.029 50.043 2
r=200.086 60.152 90.126 00.115 30.099 3

从表中可以看出, 对不同各向异性因子, EFG法在较少离散节点数时就能获得较高的计算精度, 而且精度随节点数增加而提高。当节点数过多时, 计算精度虽有一定程度提高, 但计算时间却大大增加了。

4 结论

1) 详细推导了正交各向异性结构传热的无网格EFG法离散控制方程, 并编写计算程序完成了具有不同各向异性因子的发动机复合材料连杆的无网格传热分析, EFG法温度场和有限元结果吻合得较好, 且更逼近于参考解, 说明本计算模型是有效可行的。

2) 相比于有限元法, 无网格法的节点可灵活布置, 所建立的EFG传热计算模型在相同节点数下温度场计算精度比有限元法高, 无论离散节点均匀分布还是随机分布, 对正交各向异性复杂几何结构的混合边界条件传热问题均有很好的适应性, 且计算精度随节点数增加而提高, 能满足工程要求。

3) 当各向异性因子小于1时, 复合材料连杆小头的温度场比各向同性材料连杆的要低, 能较好地改善连杆小头的温度分布, 尤其是连杆孔与腹板过渡段的温度显著降低。因此, 在连杆的纤维增强复合材料铺层设计和制造过程中, 横向尽可能选择导热系数大的材料, 而纵向宜选择导热系数小的材料, 而且大头和小头处宜采用同心环状铺层。

所建立的发动机复合材料连杆无网格法传热模型在节点数较少和随机分布的情况下仍能获得较高计算精度, 可进一步推广到其他复合材料复杂结构的工程传热问题中。

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DOI: 10.13433/j.cnki.1003-8728.2017.0921
中华人民共和国工业和信息化部主管、西北工业大学主办。
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周国强, 张建平, 龚曙光, 胡胜
Zhou Guoqiang, Zhang Jianping, Gong Shuguang, Hu Sheng
发动机复合材料连杆传热的无网格模型与应用
Meshless Model and Application for Heat Transfer of Engine Composite Materials Connecting Rod
机械科学与技术, 2017, 36(9): 1441-1446
Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering, 2017, 36(9): 1441-1446.
DOI: 10.13433/j.cnki.1003-8728.2017.0921

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收稿日期:2016-05-04

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