轮齿热弹耦合变形在齿宽方向的分布及其修形研究
王春华1,2, 安达1     
1. 辽宁工程技术大学 机械工程学院, 辽宁阜新 123000;
2. 沈阳航空航天大学 机电工程学院, 沈阳 110000
摘要: 应用间接耦合法对三维轮齿进行热-结构耦合分析,获取轮齿在齿宽方向上的热弹耦合变形量分布,将齿宽方向变形量数据点拟合成关于齿宽位置的函数,在Walker齿廓修形基础上,提出一种新的轮齿修形方式,结果表明:在轮齿齿宽方向上,热变形分布不均匀,使得热弹耦合变形呈中间小两侧大的分布趋势,新的修形方式可适应轮齿不同齿宽处的变形量,弥补了Walker齿廓修形因齿宽方向修形量恒定所引起的齿宽局部修形过大或不足的缺陷,使轮齿修形更为精确。
关键词: 轮齿     热弹耦合     齿宽     修形    
Research on Gear Thermo-elastic Coupling Deformation Along Tooth Width Direction and Gear Modification
Wang Chunhua1,2, An Da1     
1. School of Mechanical Engineering, Liaoning Technical University, Liaoning Fuxin 123000, China;
2. School of Mechanic and Electronic Engineering, Shenyang Aerospace University, Shenyang 110000, China
Abstract: Gear thermo-elastic coupling analysis was carried out with finite element indirect coupling method, and the thermo-elastic deformation distribution along tooth width direction was obtained. The function fitting of thermo-elastic deformation data points along tooth width direction was carried out with MATLAB. Based on gear profile modification, a new style of gear modification was presented. The elastic deformation showed uneven distribution, and thermo-elastic deformation in middle region was less than the gear end-faces along tooth width direction. The new style of gear modification met different deformations along tooth width direction, and the problem that the modification amount was larger or less in local for the Walker gear profile modification was avoided. The new style of gear modification design was more accurate.
Key words: gear     thermo-elastic coupling     tooth width     gear modification     deformation     design     temperature     finite element method     MATLAB    

齿轮运转过程中轮齿因受载变形而偏离理论啮合位置, 严重者产生较大冲击、振动和噪声, 工程中常用轮齿齿廓修形来加以改善。齿廓修形的修形量主要以轮齿运转过程的变形量为依据, 轮齿变形通常为接触弹性变形[1-3], 但一些高速、重载齿轮在运转过程中存在显著的温度场和热变形, 其轮齿变形则体现为热弹耦合变形。对此, 一些学者做了相关研究:重庆大学李润方等[4-6]研发了齿轮热弹耦合接触分析的有限元算法, 编制了相应处理程序, 在二维平面内实现了齿轮热弹耦合变形分析, 并以此为依据进行了齿廓修形设计; 文献[7-9]均应用有限元软件ANSYS中的间接耦合方法, 进行了三维轮齿的热-结构耦合分析, 获得热弹耦合变形量, 进而进行了轮齿齿廓修形。在上述研究中, 由于受二维平面分析和齿廓修形的限制, 均假定轮齿热弹耦合变形量在齿宽方向上是均匀不变的, 对其在齿宽方向上的分布情况未加关注, 为此, 分析了轮齿热弹耦合变形在齿宽方向上的分布规律, 并在分析结果以及Walker齿廓修形方法的基础上, 提出一种适应轮齿不同齿宽处变形量的修形方式。

1 齿宽方向上轮齿热弹耦合变形分布研究

以高速机床中某标准渐开线圆柱直齿轮的主动轮齿为研究对象, 齿轮的主要参数如表 1所示。采用有限元间接热-结构耦合法对三维轮齿进行热弹耦合变形的分析, 首先对轮齿进行热分析获得温度和热变形结果, 然后进行接触弹性分析, 并将之前热分析结果导入, 从而进行轮齿的热-结构耦合分析。

表 1 齿轮的主要参数
主要参数主动轮从动轮
齿数4149
模数/mm22
转速/(r·min-1)5 0004 184
转矩/(N·m)4655
齿宽/mm3634
材料20Cr20Cr
润滑油型号Mobil Jet Ⅱ
精度等级5级
1.1 三维轮齿的热分析

齿轮运转处于热平衡状态时, 每一个轮齿经历相同的历程, 可选取单个轮齿进行相关热分析[10], 以主动轮轮齿为例, 首先分别计算其啮合面平均摩擦热流和轮齿端面、啮合面对流两大边界条件。

轮齿啮合面上的摩擦热流密度与啮合位置有关, 主动轮齿任意啮合位置C处的摩擦热流密度为[11-12]

    (1)

式中:β为主、从动轮齿摩擦热流密度分配因子; qC为轮齿副在啮合位置C处产生的总摩擦热流密度, W/mm2; η为摩擦能转换热能系数; μc为啮合位置C处摩擦系数; pnC为啮合位置C处轮齿平均接触压力, MPa; VgC为啮合位置C处轮齿间相对滑动速度, m/s。

轮齿啮合位置C处在齿轮每个旋转周期内所获得的平均摩擦热流密度为[11-12]

    (2)

式中:tm1为摩擦热流密度通过主动轮齿接触区域宽度所用的时间, s; tT1为主动轮旋转周期, s

齿轮端面的对流传热是由空气和润滑油的混合流动状态决定, 润滑油和空气混合相平均温度约为60 ℃, 齿轮端面对流传热系数hs[12]

    (3)

式中:Nu为Nusselt数; kf为流体热传导率W/(m·℃); rN为齿轮端面任意点N处的半径, m;Pr为Prandtl数; m为齿轮端面温度沿径向分布指数; ω为齿轮旋转角速度rad/s; vf为齿轮端面流体的运动粘度, m2/s。

轮齿的啮合面仅在每次啮合结束瞬时获得一次喷油冷却, 具有间隙性瞬态强制对流冷却的特征, 润滑油初始温度约为30 ℃, 轮齿啮合面任意啮合位置C处的平均对流传热系数[12]

    (4)

式中:tN1为轮齿啮合所需时间, s; Qtot为间隙冷却过程单位时间、体积轮齿啮合面扩散的摩擦热流量, W/mm2; θs为润滑油温度与齿面平均温度差值, ℃; HC为啮合点C半径所在处的高度值, m;t为润滑油冷却抛射过程总时间, s

建立轮齿热分析的有限元模型, 根据齿轮相关参数按照式(1)~(4) 计算得到热分析各边界条件, 将各边界条件的函数载荷等效折算到啮合面和端面的各单元节点处进行加载, 加载边界条件如图 1~图 3所示。

图 1 轮齿啮合面平均摩擦热流加载
图 2 轮齿端面对流加载
图 3 轮齿啮合面对流加载

进行有限元热分析得到轮齿本体温度云图(图 4)和轮齿热变形云图(图 5), 由图 4图 5可知:在齿宽方向上, 轮齿中间部位本体温度较高, 轮齿齿面产生了向外侧膨胀的热变形, 且受温度分布不均影响, 轮齿齿宽方向上热变形分布也不均匀, 齿宽中间部位热变形较大。

图 4 轮齿本体温度云图
图 5 轮齿热变形云图

齿轮在实际运转时, 齿宽中部位置相比两侧部位, 与外界的对流散热作用较差, 致使齿宽中间热量散失较慢, 温度较高, 产生的热变形也较大。

为后续修形需要, 提取轮齿单齿啮合区起点处热变形量(图 6所示为轮齿单齿啮合区起点), 再将其换算成啮合线方向的热变形量, 分布结果如图 7所示。由图 7可知:在齿宽方向上, 轮齿单齿啮合区起点啮合线方向的热变形量分布不均匀, 中间部位的变形量大于两侧。

图 6 轮齿热变形提取点
图 7 轮齿单齿啮合区起点啮合线方向热变形量在齿宽方向的分布
1.2 三维轮齿的热-结构耦合分析

采用有限元间接耦合法进行轮齿的热-结构耦合分析, 有限元间接耦合法按一定顺序依次进行两次或两次以上的场分析, 把前一次场分析结果数据保存, 在进行下一次场分析时将之前保存的结果数据作为载荷施加过来以实现两种或多种场的耦合。

对三维轮齿进行热-结构耦合分析, 首先将分析类型由热分析转变为结构分析。如图 8, 建立轮齿副接触分析有限元模型(接触位置在主动轮单齿啮合区起点), 定义面-面接触(接触单元为TARGE170和CONTA174), 在主、从动轮齿中心点与轮齿轴孔面间建立刚性区域, 为后续得到主动轮齿单齿啮合区起点处热弹耦合变形量, 在主动轮齿中心点施加全约束, 在从动轮齿中心点施加除周向外的约束和相应的转矩[13]。将之前轮齿热分析*.rth格式结果文件导入, 实现轮齿副热弹-结构耦合分析。图 9为轮齿副热弹耦合变形云图(沿X轴方向), 图 10为主动轮齿热弹耦合变形云图(沿X轴方向)。

图 8 轮齿副弹性接触分析的加载
图 9 沿X轴方向的轮齿副热弹耦合变形云图
图 10 沿X轴方向的主动轮齿热弹耦合变形云图

提取主动轮齿单齿啮合区起点的热弹耦合变形量, 再换算成啮合线方向热弹耦合变形量, 其分布结果如图 11所示。轮齿单齿啮合区起点啮合线方向的热弹耦合变形量在齿宽方向上分布不均匀, 与热变形量分布规律相反, 轮齿中间部位的热弹耦合变形量小于两侧部位的热弹耦合变形量。分析原因:主动轮齿齿面受接触力产生垂直齿面向内的弹性变形, 热变形向齿面外侧膨胀, 与弹性变形方向相反且小于弹性变形, 热变形对弹性变形有一定抵消作用, 轮齿中间部位热变形大抵消作用大, 使得热弹耦合变形在轮齿中间部位较小。

图 11 主动轮齿单齿啮合区起点啮合线方向热弹耦合变形量在齿宽方向的分布
2 轮齿的修形研究

齿轮齿廓修形普遍应用Walker齿廓修形理论[14-15], 其示意图如图 12所示。

图 12 轮齿Walker齿廓修形示意图

修形公式为:

    (5)
    (6)

式中:f(y)为轮齿齿廓修形曲线; y为轮齿啮合位置坐标(与修形起点在啮合线方向的距离), mm;L为修形长度, mm;Δmax为最大修形量, mm;b为修形指数, 通常取1~2;δE为主动轮齿单齿啮合区起点(终点)处啮合线方向的变形量, mmδE为从动轮齿单齿啮合区起点(终点)处的啮合线方向变形量, mm;Δf为由齿轮制造误差引起的基节差, mm。

图 12和式(5)、式(6) 可知:在齿宽方向上, 齿廓修形曲线f(y)恒定, 最大修形量Δmax为常量, Δmax由主、从动轮齿单齿啮合区起点(终点)处变形量确定(不考虑制造误差), 可见, 计算齿廓修形的轮齿变形量时, 将其视为在齿宽方向上恒定即可。但实际上, 由上文的分析可知, 轮齿的热弹耦合变形量在齿宽方向上分布并不均匀, 为使齿廓修形满足轮齿不同宽度处不同变形量的要求, 提出如下修形方式。

以主动轮齿顶修形为例(对应所需变形量为主、从动轮单齿啮合区起点的变形量), 设最大修形量Δmax是关于齿宽位置x的函数, 参考式(6) 建立函数

    (7)

图 11已得到δE2在齿宽方向上的数据点分布, 同样热-结构耦合分析得到从动轮齿单齿啮合区起点啮合线方向热弹耦合变形量δE2在齿宽方向的数据点分布(图 13), 由图 11图 13可得轮齿单齿啮合区起点啮合线方向综合热弹耦合变形量δE2综在齿宽方向的数据点分布, 如图 14所示, 为得到轮齿综合热耦合变形量函数δE2综(x), 应用MATLAB对图 14所得轮齿综合热弹耦合变形量的离散数据点进行函数拟合, 如图 15所示, 为提高拟合精度选择6次多项式函数作为拟合函数结果, 如式(8) 所示。

图 13 从动轮齿单齿啮合区起点啮合线方向热弹耦合变形量在齿宽方向的分布
图 14 轮齿单齿啮合区起点啮合线方向综合热弹耦合变形量在齿宽方向上的分布
图 15 轮齿综合热弹耦合变形量的函数拟合
    (8)

式(7) 中齿轮制造误差引起的基节差Δf可根据待修形齿轮实际测量得到, 在此按零处理, 则得到轮齿最大修形量Δmax扯关于齿宽位置x的函数,即

    (9)

Δmax齿顶(x)带入到Walker齿廓修形理论式(5) 中, 建立如式(10) 所示的修形量函数, 新的修形量函数z(x, y)是关于齿宽位置x和啮合位置y的一元二次函数, 即轮齿工作齿面上的修形量不仅与啮合位置有关, 还与齿宽方向上的位置有关。

    (10)

将式(9) 代入式(10), 并根据齿轮尺寸计算L=2.3 mm(短修形)[16], 取修形指数b=1.2[17], 最终得到主动轮齿顶处齿面修形量函数为:

    (11)

根据轮齿修形量函数式(11) 绘制轮齿修形量函数图象, 如图 16所示, 轮齿修形量从修形起点开始, 在齿高方向上随着啮合位置y的变化逐渐增大, 这一点与Walker齿廓修形一致, 而在齿宽方向上, 轮齿修形量分布并不均匀, 从中间部位向两侧逐渐增大, 修形量满足轮齿不同宽度处的变形量要求。图 17为Walker齿廓修形的修形量函数图象, 其中17a)是按轮齿齿宽中心面处变形量确定的修形量函数图象, 其修形结果相比于图 16, 在齿宽方向上轮齿两侧部位的修形量不足, 修形量最大偏差达Δmax(x2)-Δ1max=1.44 μm(位于两侧端面处), 易导致轮齿两侧部位发生干涉和冲击; 17b)是按轮齿端面处变形量确定的修形量函数图象, 其修形结果相比于图 16, 轮齿中间部位的修形量过大, 修形量最大偏差达Δ2max-Δmax(x1)=1.44 μm(位于齿宽中心面处), 易导致轮齿中间部位存在接触不良, 可见, 新的修形方式弥补了齿廓修形在齿宽方向适应性差的缺陷, 满足不同齿宽处的变形量要求, 在齿宽方向上修形精度最大可提高60.5%, 使修形更为精确。

图 16 轮齿修形量函数图象
图 17 轮齿Walker齿廓修形的修形量函数图象
3 结论

轮齿齿宽方向上中间部位热变形大于两侧, 热变形对接触弹性变形有一定抵消作用, 热弹耦合变形在齿宽方向上呈中间小两侧大分布趋势, 在轮齿Walker齿廓修形基础上提出的修形方式可适应轮齿不同齿宽处的变形量, 弥补了Walker齿廓修形因齿宽方向修形量恒定所引起的齿宽局部修形过大或不足的缺陷, 齿宽方向上修形精度最大可提高60.5%, 使修形更为精确。

参考文献
[1] 尚振国, 王华. 风力发电增速器齿轮齿廓修形有限元分析[J]. 机械传动, 2009, 33(4): 69–71  
Shang Z G, Wang H. Finite dement analysis on profile modification in speed increase gearbox for the wind-driven generator[J]. Journal of Mechanical Transmission, 2009, 33(4): 69–71 (in Chinese)
[2] Tesfahunegn Y A, Rosa F, Gorla C. The effects of the shape of tooth profile modifications on the transmission error, bending, and contact stress of spur gears[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C:Journal of Mechanical Engineering Science, 2010, 224(8): 1749–1758 DOI:10.1243/09544062JMES1844
[3] 吴勇军, 王建军, 韩勤锴, 等. 基于接触有限元分析的斜齿轮齿廓修形与实验[J]. 航空动力学报, 2011, 26(2): 309–415  
Wu Y J, Wang J J, Han Q K, et al. Tooth profile modification of helical gears and experimental study based on finite element contact analysis[J]. Journal of Aerospace Power, 2011, 26(2): 309–415 (in Chinese)
[4] 李润方, 汤庆平. 运转过程中轮齿耦合热弹性接触有限元分析[J]. 齿轮, 1989, 13(1): 23–28  
Li R F, Tang Q P. Thermo-elastic coupling finite element contact analysis of gear on transmission[J]. Gear, 1989, 13(1): 23–28 (in Chinese)
[5] 李绍彬, 李润方, 林腾蛟. 基于热弹变形的圆柱齿轮理想修形曲线[J]. 中国机械工程, 2003, 14(14): 1175–1179  
Li S B, Li R F, Lin T J. The cylindrical gear teeth ideal modification curve based on the coupled thermo-elastic contact finite element method[J]. China Mechanical Engineering, 2003, 14(14): 1175–1179 (in Chinese) DOI:10.3321/j.issn:1004-132X.2003.14.002
[6] 王立华, 李润方, 林腾蛟, 等. 高速重载齿轮的有限元分析[J]. 中国机械工程, 2003, 14(20): 1773–1777  
Wang L H, Li R F, Lin T J, et al. Finite element analysis of high speed and heave load gear[J]. China Mechanical Engineering, 2003, 14(20): 1773–1777 (in Chinese) DOI:10.3321/j.issn:1004-132X.2003.20.018
[7] 王丹, 陆瑞成, 闫玉涛, 等. 航空发动机齿轮接触分析与修形研究[J]. 东北大学学报(自然科学版), 2013, 34(8): 1171–1174  
Wang D, Lu R C, Yan Y T, et al. Modification research and contact analysis of aero-engine gears[J]. Journal of Northeastern University (Natural Science), 2013, 34(8): 1171–1174 (in Chinese)
[8] 孙建国. 渐开线圆柱齿轮修形及动力接触特性研究[D]. 重庆: 重庆大学, 2008
Sun J G. Study on the modification and dynamic contact characteristics of involute cylindrical gears[D]. Chongqing:Chongqing University, 2008(in Chinese) http://www.cqvip.com/QK/92228A/200802/26899531.html
[9] 姚阳迪. 基于热弹变形的高速重载齿轮修形研究[D]. 重庆: 重庆大学, 2010
Yao Y D. Modification research of high-speed and heavy-load gear based on thermo-elastic deformation[D]. Chongqing:Chongqing University, 2010(in Chinese) http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-BJGY201204020.htm
[10] 龚宪生, 王欢欢, 张干清. 行星齿轮齿本体温度场与闪温研究[J]. 农业机械学报, 2011, 42(10): 209–216  
Gong X S, Wang H H, Zhang G Q. Analysis of bulk temperature field and flash temperature for planet Gear Teeth[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2011, 42(10): 209–216 (in Chinese)
[11] 龙慧, 张光辉, 罗文军. 旋转齿轮瞬时接触应力和温度的分析模拟[J]. 机械工程学报, 2004, 40(8): 24–29  
Long H, Zhang G H, Luo W J. Modelling and analysis of transient contact stress and temperature of involute gears[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2004, 40(8): 24–29 (in Chinese)
[12] 龙慧. 高速齿轮传动轮齿的温度模拟及过程参数的敏感性分析[D]. 重庆: 重庆大学, 2001
Long H. Modeling of surface temperature in high-speed gears and sensitivity analysis[D]. Chongqing:Chongqing University, 2001(in Chinese) http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-GHZJ199805053.htm
[13] 杨健. 直齿圆柱齿轮啮合副的齿廓修形研究[D]. 沈阳: 东北大学, 2014
Yang J. Research on tooth profile modification of spur gear engagement pair[D]. Shenyang:Northeastern University, 2014(in Chinese) http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-JXCD201401005.htm
[14] Walker H. Gear tooth deflection and profile modification:NO.1[J]. The Engineer, 1938, 166(4318): 409–412
[15] Walker H. Gear tooth deflection and profile modification:NO.2[J]. The Engineer, 1938, 166(4319):434-436 http://www.doc88.com/p-7763168999681.html
[16] 姬建刚钢, 张磊, 黄新华, 等. 渐开线圆柱齿轮修形技术及评价方法[J]. 机械传动, 2014, 38(4): 172–176  
Ji J G, Zhang L, Huang X H, et al. Evaluation method and modification technology of involute cylindrical gear[J]. Journal of Mechanical Transmission, 2014, 38(4): 172–176 (in Chinese)
[17] TreauchiY, NagamuraK. 直齿圆柱齿轮轮齿挠曲计算及其齿廓修缘[J]. 齿轮, 1983, 7(3): 37–40, 51  
Treauchi Y, Nagamura K. The deflection calculation and gear profile modification of spur gear[J]. Gear, 1983, 7(3): 37–40, 51 (in Chinese)
DOI: 10.13433/j.cnki.1003-8728.2017.0916
中华人民共和国工业和信息化部主管、西北工业大学主办。
0

文章信息

王春华, 安达
Wang Chunhua, An Da
轮齿热弹耦合变形在齿宽方向的分布及其修形研究
Research on Gear Thermo-elastic Coupling Deformation Along Tooth Width Direction and Gear Modification
机械科学与技术, 2017, 36(9): 1408-1413
Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering, 2017, 36(9): 1408-1413.
DOI: 10.13433/j.cnki.1003-8728.2017.0916

文章历史

收稿日期:2016-04-21

相关文章

工作空间