含间隙及摩擦的振动系统动力学分析
唐斌斌, 张艳龙, 崇富权, 李珂     
兰州交通大学 机电工程学院, 兰州 730070
摘要: 考虑接触表面工况的差异性,建立一类含两类摩擦及间隙的两自由度碰撞振动系统动力学模型,给出系统在不同运动阶段的判断条件和粘-滑-碰运动行为过渡准则,采用数值仿真方法对系统求解,结合判断条件分析摩擦对系统造成的非光滑运动特性及复杂的动力学行为,同时分析不同摩擦模型对系统动力学特性的影响。结果表明,系统存在瞬时摩擦诱导振动、周期颤振、颤振向粘着过渡及粘-滑-碰之间的转换等摩擦振动现象。
关键词: 摩擦诱导振动     非光滑     粘滑     间隙    
Dynamical Analysis of Vibration System with Clearance and Friction
Tang Binbin, Zhang Yanlong, Chong Fuquan, Li Ke     
School of Mechatronic Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China
Abstract: The dynamics model of a two-DOF vibration system with two kinds of friction which is considered by the differences of working condition of contact surface and clearance is established. The system in different stages of exercise judgment and stick-slip-impact behavior transition rules are given, then using the numerical simulation method to solve the differential equations of system, combined with the judgment condition to analyze the non-smooth movement characteristics caused by the friction and the complex dynamic behavior, and the influence of different friction models on the dynamics of the system. The results show that the system exists the friction vibration phenomenon including the instantaneous friction induced vibration, period flutter, flutter transition to sticking and among the conversion of stick-slip-impact.
Key words: friction induced vibration     non-smooth     stick-slip     clearance    

含摩擦及间隙的碰撞振动机械系统普遍存在工程应用中, 如制动尖叫、高速列车动力学分析、离合颤振、机器人关节处的摩擦诱导振动等方面。这类问题也一直是众多国内外学者致力于研究的课题。自1931年Hartog等[1]开始研究库伦粘滞阻尼振子以来, 相继含有摩擦的系统成了研究的热点, 随后Shaw等[2-5]研究了干摩擦对系统动力学的响应; 文献[6]从轴承模型中得出的一类含摩擦的碰撞振动系统, 分析了粘滑的存在; 文献[7-8]详细探讨含摩擦对振子的低频周期行为影响以及摩擦碰撞振子在运动过程中产生的擦边分岔行为; 钱大帅等[9]利用谐波平衡法研究了干摩擦振子双粘着运动响应的级数形式解及对粘滑边界的分析; 以上基于单自由度振动系统研究了含有摩擦的非线性动力学特性。随着研究的深入, Awrejcewicz等[10-11]研究在自激和外激下的两耦合振子含摩擦的粘滑混沌运动, 并且数值模拟验证了理论分析过程; 文献[12]运用特征值分析了含干摩擦的二自由度车辆制动系统颤振动力学的稳定性, 并且分析了不同参数对系统特性的影响; Liu等[13-14]讨论太空舱系统模型含摩擦的弹性碰撞振动响应, 及系统中各参数对动力学特性的影响; 丁旺才等[15]分析含对称间隙的摩擦振子非线性动力学行为, 给出系统在运动过程中存在叉式分岔, 对称运动及反对称运动等。

本文中从单列圆柱滚子轴承系统中简化出一类含摩擦及间隙的两自由度碰撞振动系统, 结合详细的分析过程及数值仿真对这类振动系统进行非线性动力学分析, 研究摩擦导致的摩擦诱导振动、颤振、粘-滑-碰运动及非线性动力行为对于系统稳定性影响, 为机械机构全局动态优化设计、系统安全性与可靠性及工业噪声控制的解决提供理论基础。

1 含摩擦及间隙的碰-振系统模型

从一类单列圆柱滚子轴承中简化出来的含摩擦的两自由度碰撞振动系统力学模型如图 1所示。质量为M1M2的振子分别由刚度系数为K1K2K3的线性弹簧及阻尼系数为C1C2的线性阻尼器相连, 振子M1M2之间光滑接触, 振子2与固定面非光滑接触, 假定阻尼是Rayleigh型比例阻尼, 碰撞过程由碰撞恢复系数R确定, 简谐激振力Psin(ΩT+τ)作用在振子M1上, 当振子M1M2的位移差等于间隙B时, 两振子发生碰撞, 由于碰撞持续时间极短略去不计。

图 1 含摩擦碰-振系统模型简图

系统运动微分方程为

    (1)

式中:

无量纲后的系统参数及变量如下:

两种摩擦类型为:

摩擦类型一:考虑理想的干摩擦类型, 接触表面无任何润滑, 即经典的库伦摩擦模型, 表达式为:

    (2)

摩擦类型二:由于在实际工况中, 接触表面间总有润滑作用的黏剂存在, 故需将润滑作用考虑进来, 即线性库伦摩擦模型, 表达式为:

    (3)

式中:u, μv分别为摩擦系数和粘滞阻尼系数。

若两振子位移满足|x1-x2| < b时, 质块1与质块2发生碰撞, 由于系统含碰撞及摩擦构成非连续运动, 振子的运动状态将会在滑移、粘滞与碰撞之间相互转换, 运动过程变的复杂。为了更加全面的理解系统的运动状态变化, 根据振子的受力和速度变化情况, 将运动过程分如下情形讨论:

情形1:前滑段

振子1上作用有简谐激振力, 振子1始终是运动的, 通过振子1作用到振子2上的力, 对于振子2即为驱动力, 即, 以下提及的驱动力与此相同, 若满足驱动力大于振子2所受的弹簧3的弹性力以及摩擦力, 且振子2速度不为零, 振子2做加速滑移运动, 其判断表达式为

    (4)

在这种情形下, 振子1与振子2都处于运动状态, 系统运动状态方程为:

    (5)

情形2:后滑段

若满足驱动力小于振子2所受的弹簧3的弹性力以及摩擦力, 且振子2速度不为零, 振子2做减速滑移运动, 其判断表达式为

    (6)

在这种情形下, 振子1与振子2都处于运动状态, 系统运动状态方程为:

    (7)

情形3:粘着段

若驱动力小于振子2所受弹性力及摩擦力, 且振子2速度为零, 振子2发生粘滞, 其判断表达式为

    (8)

在这种情形下, 即振子1处于运动状态, 振子2处于粘着静止, 系统运动状态方程为:

    (9)

情形4:脱离段

当驱动力大于摩擦力的瞬时, 振子2脱离粘着段, 其位移不变, 但速度会发生跃迁, 脱离粘着状态所经历的时间Δt极短, 根据动量定理导出速度增量表达式为:

    (10)

式中:t0为脱离瞬时时刻; Δf为驱动力与摩擦力之差。

情形5:碰撞段

当两振子的运动位移之差等于间隙b时, 两振子发生碰撞, 其判断表达式为

    (11)

在这种情形下, 即振子发生碰撞, 根据动量守恒定律及碰撞关系得:

    (12)

综上述5种情形对含摩擦及间隙的碰-振系统进行数值模拟来分析动力学影响, 选取Poincaré截面

建立Poincaré映射:

式中:XR4; v是实参数。用n-p-q-k表示系统的周期运动。其中:n表示激励周期数; pq表示振子M1M2的挡板AC的碰撞次数; k表示粘着次数。

2 库伦摩擦模型对系统影响

选取系统参数:μc1=μk1=1, μk3=2, ξ=0.1, μm=0.4, b=0.2, μ=0.1, R=0.8, α=3.2, 设定初始值: , 以σ作为Poincaré截面, 激振频率ω为分岔参数, 分析库伦摩擦对系统动力行为的影响, 系统全局分岔如图 2所示, 稳定周期1运动范围为5.50~5.69, 当ω > 7.942 3时, 发生Hopf分岔。

图 2 系统全局分岔图

时间历程图如图 3, 揭示了摩擦诱导振动向粘着运动的过渡及粘-滑-碰之间的转换过程。其中, 当参数ω > 6.194 9, 在一个运动周期内, 时间历程图 3a)3d)分别呈现出振子2在速度为零处发生一次颤振; 图 3b)3e)呈现出随着参数ω=6.21, 在一个运动周期内, 振子2发生双颤振; 随着参数进一步增加, 当参数ω=6.25, 图 3c)3f)呈现出一个运动周期内, 系统发生一次颤振及一次粘着运动, 图 3c)左边的局部相图为颤振局部放大图, 系统运动形式不是单一颤振, 而是颤振与粘滞混合运动, 使得系统运动变的更复杂; 当参数ω=6.26时, 图 3g)~3h)呈现出系统在一个运动周期内, 发生双粘着运动, 系统展示出完整的粘-滑-碰运动。

图 3 粘-滑-碰撞振动时间历程图

图 3g)3h)表示振子2发生粘-滑-碰运动, 为了刻画系统在3种不同运动状态之间的转换, 下面详细描述系统含摩擦及间隙导致的粘着与碰撞运动过程, 在这里以A点为起始点, 也就是粘着脱离点, 由于脱离速度会发生突跃, 并且脱离的时间极短, 脱离段的轨迹是平行于垂直轴的直线段, 其长度由式(10)~式(11) 决定, 脱离段在B点结束; 然后从B点进入后滑段, 在后滑段还没有结束的C点, 由于在这点发生碰撞, 后滑段在C点被迫结束, 并且进入碰撞段, 碰撞前为C点, 碰撞后速度跳跃到D点, 碰撞结束; 随后从D点进入前滑段然后再光滑过渡到后滑段, 到E点由于碰撞的发生, 在这点后滑段被迫结束, 进入碰撞段, 碰撞后速度跳跃到F点, 碰撞段结束; 从F点进入后滑段, 到G点速度减小为零, 后滑段结束; 根据式(8) 的判断条件, 振子从G点开始进入粘着段, 到H点粘着段结束, 且粘着段的结束点就是脱离粘着段的开始点进入下一个周期运动; 重新以相反的方向重复运动, 当整个运动过程回到A点, 表示一个周期的系统运动过程结束。从图 3h)中得到, 由于振子脱离脱离段的时间极短, 振子还没有发生位移, 故AB点重合; 在碰撞段, 同样由于速度的突变, 而振子位移未及时响应, 故CD点重合, 其他分析过程与此类似。

3 线性-库伦摩擦模型对系统影响

系统参数与上述参数一致, 以σ作为Poincaré截面, 激振频率ω为分岔参数, 分析润滑作用的摩擦模型对系统运动的影响。从图 4a)中可得出系统稳定周期1运动范围在5.48~6.37, 稳定运动周期相较于库伦摩擦模型明显增长, 当ω > 6.37时, 发生次临界Hopf分岔, 当ω > 7.6时, 发生超临界Hopf分岔, 振子1与振子2的相对运动发生1-1-1-1周期运动, 如图 4b)

图 4 系统全局分岔和粘-滑-碰撞振动运动图

时间历程图 4c)~4d)呈现出系统在运动过程中出现瞬时粘着运动。以碰撞前的A点为起始点进行分析, 从A点进入碰撞段, 由于忽略碰撞时间, 碰撞瞬时完成, 速度发生跳跃, 位移未发生改变, 到B点碰撞结束; 从B点开始进入后滑段, 速度逐渐减小为零, 当速度减小为零时, 且驱动力小于摩擦力, 系统运动状态进入粘着段CB, 由于粘着段短暂, 在速度-时间历程图上速度为零时间很短, 在位移-时间历程图上可以清晰地反映粘着段CB; 由于系统的运动状态受到系统参数的影响, 在此系统参数影响下, 脱离段短暂, 可以认为是瞬时完成, 速度没有发生明显的突跃, 当粘着段在D点结束, 由于力方向的改变, 驱动力大于摩擦力瞬时, 速度发生跃迁, 但速度跃迁幅值极小, 接近平滑过渡, 在E点完成脱离段DE; 接下来系统由于受力方向和速度方向一致, 故在E点进入前滑段, 在F点由于碰撞, 前滑段被迫结束, G点为碰撞结束点; 在GA段, 速度方向和力方向交替变化, 先进入后滑段后平滑过渡到前滑段, 到A点完成一个系统的周期运动, 图 4b)对应着系统在参数ω=6.26时的粘着相空间运动状态。

4 结束语

建立了一类建立两种含不同摩擦类型的两自由度含间隙的碰撞振动系统动力学模型, 详细分析了系统的运动过程, 给出系统各运动阶段的判定条件, 通过数值仿真分析了系统的粘-滑-碰运动, 进而分析了库伦摩擦模型对系统运动产生的颤振、瞬时摩擦诱导振动、粘-滑-碰行为及粘着, 滑移和碰撞之间的运动转换条件; 其次, 分析了线性库伦摩擦模型对系统动力学响应的影响, 发现系统存在周期1-1-1-1瞬时粘着运动。系统存在理论分析的各运动阶段, 且完整呈现出粘着-滑移-碰撞行为, 揭示了摩擦诱导振动向粘着运动的过渡过程, 为解决此类系统摩擦振动提供理论依据。

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DOI: 10.13433/j.cnki.1003-8728.2017.0909
中华人民共和国工业和信息化部主管、西北工业大学主办。
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唐斌斌, 张艳龙, 崇富权, 李珂
Tang Binbin, Zhang Yanlong, Chong Fuquan, Li Ke
含间隙及摩擦的振动系统动力学分析
Dynamical Analysis of Vibration System with Clearance and Friction
机械科学与技术, 2017, 36(9): 1362-1366
Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering, 2017, 36(9): 1362-1366.
DOI: 10.13433/j.cnki.1003-8728.2017.0909

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收稿日期:2016-04-11

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