计入摩擦的进给伺服系统自适应滑模控制方法研究
李淑超, 刘丽兰, 任博林, 张小静     
西安理工大学 机械与精密仪器工程学院, 西安 710048
摘要: 针对具有非线性摩擦和有界外部扰动的进给伺服系统,设计了一种自适应滑模控制器。该控制器采用自适应算法建立了摩擦力的线性边界,将其作为滑模控制项增益,利用滑模控制项补偿摩擦和外部扰动,使系统跟踪误差渐进收敛于要求的允差内。基于Lyapunov稳定性理论证明了闭环控制系统的全局稳定性。仿真结果表明该控制器能有效补偿摩擦和外部扰动,相对于传统的PD和PID控制,显著提高了进给伺服系统的跟踪精度,并对系统参数和摩擦的不确定性具有一定的鲁棒性。
关键词: 进给伺服系统     摩擦补偿     自适应算法     滑模控制     鲁棒性    
Study on Adaptive Sliding Mode Control for Feed Servo System with Friction
Li Shuchao, Liu Lilan, Ren Bolin, Zhang Xiaojing     
School of Mechanical and Instrumental Engineering, Xi'an University of Technology, Xi'an 710048, China
Abstract: An adaptive sliding mode controller is presented for the feed servo system with nonlinear friction and bounded external disturbances. The controller has a sliding control input to compensate the friction and external disturbances so that the tracking error convergences asymptotically to the preassigned boundary. The gain of the sliding control input is adjusted using adaptive algorithms to estimate the linear bound of the friction. The global stability of the closed loop control system is established via Lyapunov's stability theorem. Finally, simulation results have verified that the proposed controller can compensate the friction and external disturbances effectively. Compared with the traditional Proportional-integral-differential (PD and PID) controllers, it enhances significantly the tracking accuracy of the servo system, and has robustness to the uncertainty of the system parameters and friction characteristics.
Key words: feed servo system     friction compensation     adaptive algorithms     sliding mode control     robustness    

进给伺服系统的运动和定位精度直接关系到数控机床的性能, 而存在于各种运动副处的非线性摩擦是影响伺服精度的一个重要因素。摩擦不仅导致稳态的跟踪误差, 而且会使系统出现低速爬行和速度过零时的波形畸变等现象[1], 严重影响了系统的跟踪精度和低速平稳性。因此必须采用适当的控制方法减小或消除摩擦对系统性能的不利影响。

摩擦补偿方法通常分为两大类:独立于模型补偿和基于模型补偿。独立于模型补偿的主要思想是将摩擦视为外干扰, 通过改变控制结构或控制参数来提高系统抑制干扰的能力, 从而抑制摩擦。

传统的方法主要有PD和PID控制, 其主要通过高增益来抑制摩擦非线性带来的影响[2-4]。Patton等[5]把摩擦视为一种被控对象的故障扰动现象, 从而避免了建立精确摩擦模型的问题。该方法使用滑模观测器在线评估摩擦, 再结合滑模控制理论来实现对摩擦扰动的鲁棒性控制。基于模型的补偿方法是采用合适的摩擦模型对系统摩擦力进行估计, 并将估计值加入到控制力中, 从而消除摩擦环节对系统的影响, 其关键在于建立准确的摩擦模型。Liu等[6-8]采用改进链码法辨识出摩擦自激振荡系统中Stribeck摩擦模型参数; 借助非线性优化方法利用临界爬行速度与进给位置的关系曲线实现了进给系统结构参数和摩擦参数的逐步辨识; 并从传动刚度的角度对含有复杂传动链的重型机床进给系统的爬行现象进行了研究。Gao[9]研究了进给系统中粘滑运动产生的机理, 并针对粘滑发生机理进行了摩擦补偿研究, 降低了跟踪误差。文献[10-12]对单自由度系统的摩擦补偿问题进行了研究, 提出了相应的自适应滑模控制方法对摩擦及外部扰动进行补偿, 取得了很好的效果。

电机与负载间的传动刚度也是影响进给系统性能的重要因素, 而在以往的摩擦补偿研究中却很少涉及。本文以电机直连滚珠丝杠的进给系统为研究对象, 将其简化为一个单自由度系统, 考虑传动刚度的影响建立其数学模型, 设计了一种自适应滑模控制器对非线性摩擦和有界的外部扰动进行补偿, 使进给伺服系统达到要求的跟踪精度, 仿真证明了该控制器的有效性。

1 进给伺服系统数学模型

一般单轴直联式进给伺服系统的机械结构如图 1所示。

图 1 进给伺服系统机械结构简图

伺服电机通过联轴器直接驱动滚珠丝杠, 丝杠通过螺母带动工作台, 将伺服电机的旋转运动转换成工作台的直线运动。为简化分析, 将进给伺服系统的转动部分向工作台移动部件等效, 使之成为一个单自由度系统, 其考虑外部扰动的反馈控制框图如图 2所示[13], 动力学方程为

    (1)
图 2 单自由度系统控制框图

式中:Me为系统的等效质量; Ce为系统的等效粘性阻尼系数; Ke为系统在进给方向上的等效刚度; u为控制力; Ff为导轨处摩擦力; Fd为有界的外部扰动, 满足|Fd|≤ψ, ψ为正的常数。

2 摩擦力建模及其线性边界

目前, 对于摩擦模型的描述国外学者做了大量研究工作[14], 同时也提出了许多摩擦模型。选用应用较多的LuGre摩擦模型作为导轨处摩擦的数学模型, 该模型是基于鬃毛的平均变形来建模, 用一个一阶微分方程描述了诸多摩擦现象, 包括库仑摩擦、Stribeck摩擦和摩擦滞后等, 很好地描述了机械系统的低速摩擦特性。

鬃毛的平均变形用状态变量z来表示

    (2)

摩擦力由鬃毛的挠曲产生, 可以描述为

    (3)

函数描述了Stribeck效应, 方程式为

    (4)

式中:σ0为鬃毛刚度; σ1为鬃毛阻尼; σ2为粘性阻尼系数; Fs为最大静摩擦力; Fc为库仑摩擦力; vs为Stribeck速度。

若设

    (5)

则可分段定义摩擦力的线性边界:

因此, 摩擦力被限制在如图 3所示的线性边界内, 即

    (6)
图 3 摩擦力曲线
3 控制器设计

为补偿摩擦引起的系统跟踪误差, 设计控制律u(t), 使得系统输出轨迹较好地跟踪期望轨迹。定义跟踪误差和误差度量s(t)如下:

    (7)

定义滑模面s(t)=0, 在其上面跟踪误差以指数形式减小到零[15]。如果s(t)有界, 即|s(t)|≤δ, 那么跟踪误差也逐渐收敛于相应的区间

    (8)

我们定义另一个误差度量sΔ(t)

    (9)

其中, 函数sat(·)为

误差度量sΔ(t)具有如下性质:

    (10)

控制目标是设计合适的控制器保证误差度量s(t)收敛于指定的区间[-δ, δ]内。

为此, 设计控制律u(t)为

    (11)

式中: 分别为等效质量Me、阻尼Ce、刚度Ke的估计; ; kd为正反馈增益, 滑模控制项增益由上一节定义的摩擦力线性边界表示

    (12)

式中: k0的估计; k0表示F0和外部扰动上限ψ的和, k0=F0+ψ; 为线性边界斜率b的估计。采用滑模控制项补偿非线性摩擦和有界的外部扰动, 其增益可根据系统状态参数的改变自适应调整, 确保跟踪误差收敛于指定的允差内。控制系统框图如图 4所示。

图 4 自适应滑模控制系统框图

根据控制律, 误差度量s(t)的时间微分可以表示为

    (13)

式中: ; ; 为估计误差。

选取自适应算法为:

    (14)

式中η1η2η3η4η5为正的设计参数。

由伺服系统式(1), 控制律式(11), 参数自适应估计式(14), 组成了闭环自适应滑模控制系统。系统中所有的信号有界, 且跟踪误差度量s(t)渐近收敛于指定的区间[-δ, δ]内。

4 稳定性分析

选择李雅普诺夫函数为

    (15)

式中: ; 为摩擦力线性边界的估计误差。

当|s| < δ时,

当|s| > δ时, 有, 此时

如果sΔ, , , , 的初值有界, 那么它们对任意的t > 0都有界。sΔ有界亦即s是有界的, 故只要e(0) 和有界, e(t)和也始终有界。由于输入的期望轨迹xd(t)有界, 所以输出轨迹x(t)也保持有界。

因为V(t)是正的单调递减函数, 所以极限V(∞)存在, 有

sΔ(t)平方可积。

由函数sΔ(t)的性质知, 等于0或者, 由式(13) 给出, 因为sΔ, x(t), 和估计误差, , , , 有界, 所以也有界。根据Babalat引理, 有, 即当t→∞时, |s(t)|≤δ。因此, 轨迹跟踪误差渐近收敛于指定的允差内。

需要注意的是为了获得较高的跟踪精度, 应选取尽可能小的δ值。然而, 过小的δ可能导致自适应滑模控制输入的不连续性, 进而引起控制抖振, 系统的可靠性降低。因此, 应在期望跟踪精度和控制输入的连续性间折中考虑。

5 数值仿真

为验证所设计控制器的摩擦补偿效果, 采用simulink仿真, 并与两种传统的控制方法PD和PID的控制结果相比较。进给伺服系统模型参数见表 1, 在t=8 s时改变参数值以检验控制器的自适应能力和鲁棒性。本文设计控制器的参数取为:kd=5, λ=30, η1=10, η2=10, η3=150, η4=20, η5=10, 误差度量s的边界δ设为0.01。为了便于比较, PD和PID控制器的参数选取与所设计控制器的PD环节kdsΔ(t)参数一致, 即KP=kdλ=150, KD=kd=5, KI=75。自适应估计参数的初值均取为零。

表 1 系统模型参数
时间/s 0≤t≤8 t > 8
Me/kg 1.0 1.2
Ce/(Ns·m-1) 2 2.5
Ke/(N·m-1) 10 12
Fs/N 4.2 5.4
Fc/N 2.4 2.9
vs/(m·s-1) 0.1 0.2
σ0/(N·m-1) 260 320
σ1/(Ns·m-1) 2.5 3.5
σ2/(Ns·m-1) 0.02 0.03

设期望加速度信号为:

式中:A=1 m/s2; 周期T=4 s, 积分可得期望的位移和速度, 其轨迹如图 5所示。

图 5 期望位移和速度轨迹

将上述期望信号作为输入指令, 分别在有无外部扰动的条件下, 仿真对比自适应滑模控制、PD控制和PID控制的跟踪误差。由于期望轨迹为零时, 相对跟踪误差为无穷大, 故均采用绝对误差。

5.1 不考虑外部扰动影响

假设进给伺服系统无外部扰动的影响, 即Fd=0, 系统分别在自适应滑模控制、PD和PID控制下的跟踪误差曲线如图 6所示。

图 6 跟踪误差(Fd=0)

图 6可以看出, 采用自适应滑模控制时, 系统跟踪误差最小, 表 2对比了系统在这3种控制方案下的最大稳态跟踪误差。

表 2 无外部扰动时位移和速度的最大稳态跟踪误差
控制方案 位移最大误差/mm 速度最大误差/(mm·s -1)
0≤t≤8 s t > 8 s 0≤t≤8 s t > 8 s
自适应滑模控制 0.361 0.342 2.76 3.26
PID控制 31.5 43.9 32.1 46.3
PD控制 56.8 74.0 164 217

可以看出, 所设计控制器显著提高了系统的跟踪精度, 且自适应滑模控制在参数改变前后稳态跟踪误差变化不大, 亦表现出对模型参数变化的鲁棒性。正如控制目标所期望的, 图 7中误差度量s(t)渐近收敛于指定的区间[-0.01, 0.01]内。

图 7 误差度量s(t)(Fd=0)
5.2 考虑外部扰动影响

加入外部扰动以检验所设计控制器的抗干扰能力, 假定外部扰动为服从正态分布的随机信号, 如图 8所示。

图 8 随机外部扰动信号

考虑外部扰动影响时系统的跟踪误差和误差度量分别如图 9图 10所示。

图 9 跟踪误差(Fd≠0)
图 10 误差度量s(t)(Fd≠0)

图 9图 10可以看出, 系统受到外部扰动影响时, 若采用自适应滑模控制, 系统跟踪误差及误差度量曲线出现了较小波动, 但仍渐近收敛于指定的范围内。此时, 3种控制方案下, 系统的最大稳态跟踪误差对比如下表 3

表 3 有外部扰动时位移和速度的最大稳态跟踪误差
控制方案 位移最大误差/mm 速度最大误差/(mm·s -1)
0≤t≤8 s t > 8 s 0≤t≤8 s t > 8 s
适应滑模控制 0.461 0.585 19.4 10.8
PID控制 178 229 214 252
PD控制 53.7 73.9 203 239

这说明所设计的自适应滑模控制器能够有效抑制外部扰动的影响, 相对于PD和PID控制, 极大地提高了系统的跟踪精度, 同时也表现出对模型参数变化的鲁棒性。

6 结论

本文针对具有非线性摩擦和有界外部扰动的进给伺服系统, 设计了一种自适应滑模控制器进行补偿研究。采用自适应算法建立了摩擦力的线性边界, 将其作为滑模控制项增益, 利用滑模控制项补偿摩擦和外部扰动, 使系统跟踪误差收敛于期望的范围内, 根据Lyapunov稳定性理论证明了闭环控制系统的全局稳定性。仿真表明该自适应滑模控制器比PD和PID控制更好地抑制了摩擦和有界外部扰动的影响, 提高了进给系统的跟踪精度, 同时亦对系统参数和摩擦的不确定性具有一定的鲁棒性。

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DOI: 10.13433/j.cnki.1003-8728.2017.0907
中华人民共和国工业和信息化部主管、西北工业大学主办。
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李淑超, 刘丽兰, 任博林, 张小静
Li Shuchao, Liu Lilan, Ren Bolin, Zhang Xiaojing
计入摩擦的进给伺服系统自适应滑模控制方法研究
Study on Adaptive Sliding Mode Control for Feed Servo System with Friction
机械科学与技术, 2017, 36(9): 1351-1356
Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering, 2017, 36(9): 1351-1356.
DOI: 10.13433/j.cnki.1003-8728.2017.0907

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收稿日期:2016-08-17

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