双参数平面上Duffing系统TLE的计算与分岔分析
张艳龙1, 石建飞1, 王丽2     
1. 兰州交通大学 机电工程学院, 兰州 730070;
2. 兰州城市学院 数学学院, 兰州 730070
摘要: 给出系统在参数空间最大Lyapunov指数的计算方法,计算Duffing系统在双参数平面上最大Lyapunov指数的分布特性。结合单参数分岔图讨论了Duffing系统在双参数平面上的分岔特性。结果表明系统在双参数平面上出现了周期跳跃、叉式分岔和倍周期分岔等各种分岔曲线,系统在倍周期分岔曲线环内不断嵌套新的倍周期分岔曲线环,使得系统最终经倍周期分岔序列进入混沌运动;这些倍周期分岔曲线环均被周期跳跃曲线截断,使得系统经过周期跳跃曲线后出现不同的周期运动。参数平面上各种分岔曲线的相交使得系统局部分岔特性变得极为复杂。通过对Duffing系统的计算与分析证明了本文方法在计算混沌问题方面的有效性与可行性。
关键词: Duffing系统     最大Lyapunov指数     双参数特性     分岔     周期跳跃    
Calculating Top Lyapunov Exponent of Duffing System on Two-parameter Plane and Analyzing its Bifurcation
Zhang Yanlong1, Shi Jianfei1, Wang Li2     
1. School of Mechanical Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China;
2. School of Mathematics, Lanzhou City University, Lanzhou 730070, China
Abstract: The method of calculating the top Lyapunov exponent of a Duffing system in the multi-parameter space is given, and the distribution characteristic of the top Lyapunov exponent of the Duffing system in its two-parameter plane is calculated. Bifurcation characteristics of the Duffing system are discussed with the single parameter bifurcation diagram. The discussion results show that the Duffing system has various bifurcation curves including periodic jump, pitchfork bifurcation and period-doubling bifurcation in its two-parameter plane. The period-doubling bifurcation curve cycles constantly appear and nest each other, making the system finally evolve the chaotic state via period-doubling bifurcation sequences. These periodic bifurcation curves are truncated by the periodic jumping curve, making the system move into different periodic states via the cycle jump curve. The intersection of various bifurcation curves in the two-parameter plane makes the local bifurcation characteristic of the system become very complex. The calculation and analysis of the Duffing system prove that this method is effective and feasible in terms of computational chaos.
Key words: Duffing system     top Lyapunov exponent     two-parameter plane     bifurcation     periodic jump    

近年来很多学者对多参数系统的分岔特性进行了各种研究。文献[1-3]对不同多参数系统的分岔和稳定性进行了研究。文献[4-5]对多参数系统的参数开折与奇异性进行了研究。文献[6-9]对多参数非常规分岔以及多参数分岔的分形结构进行了一定的研究。文献[10]分析了单自由度齿轮系统在双参数平面上的分岔与混沌行为, 得到了系统在参数平面上各种周期运动以及混沌运动的参数区域。文献[11]研究了双参变量下齿轮-转子系统扭转振动特性, 得到系统在不同参数条件下的周期性与非周期、频谱特性和时域特性的变化规律。文献[12]对交直流互联系统的多参数分岔进行了分析, 研究了系统参数对系统动态负荷裕度和分岔点类型的影响。文献[13]对参数周期转换洛伦兹系统的双参数分岔进行了研究。文献[14]对两自由度碰撞振动系统的多参数分岔以及各参数之间的匹配律进行了研究, 得到系统在参数平面上的各种分岔曲线以及不同类型周期运动的参数区域。大部分学者通过计算系统在双参数平面上的分岔图来研究系统的双参数特性。目前对于系统在双参数平面上最大Lyapunov指数(The top lyapunov exponent, TLE)的研究却很少见有文献报道。文献[15]虽计算了耦合发电机系统在双参数平面上TLE的分布特性, 研究不同控制参数对系统动力学行为的影响, 但并没有得到系统在双参数平面上精确的分岔曲线。在现有文献中很少见有系统在双参数分岔图上出现周期跳跃曲线和叉式分岔曲线。

本文以含阻尼Duffing振子强迫振动系统为模型, 利用数值逼近法计算了系统在双参数平面上TLE的分布特性, 得到系统在双参数平面上的分岔曲线, 并结合单参数分岔图研究Duffing系统在参数平面上的分岔混沌过程以及参数耦合对系统动力学特性的影响, 发现在双参数平面上系统经周期跳跃曲线后出现了叉式分岔、倍周期分岔和周期跳跃等各种分岔曲线, 系统在参数平面上的局部分岔特性变的非常复杂。

1 参数空间TLE的计算

由微分方程控制的系统

式中:x为状态向量; μ为参数向量。

参数空间TLE计算的基本思想是将参数空间离散而建立胞空间。在M维参数空间Rm中, 将各坐标轴μi(i=1, 2, …, M)分别等分成间距为hi的很多小段, 坐标轴i的每一小段用一个整数zi来表示, 一定范围的参数空间就被划分为一系列的在i方向边长为hiM维长方体, 每一个长方体称为一个胞, 用M维胞矢量z=(z1, z2, …, zM)来表征。

对于给定的胞z(n), 一般采用中心点法, 即找出其中心点μd(n):

用该中心点代替整个胞的特性来参与计算。

式中:Nihi分别表示μi对应离散胞个数和胞的宽度; μimaxμimin分别表示研究区域内参数量μi的最大最小值。

将参数空间离散为胞空间后, 利用系统单参数TLE指数的计算方法计算每一个胞所对应的TLE, 得到系统在整个参数空间的TLE。在计算过程中, 对于TLE等于零的分岔点来说, 由于数值计算精度, 其TLE不可能完全等于零, 故采用变步长思想和逐步逼近方法计算系统在参数空间分岔点所对应的分岔胞。选用二维参数平面, 即μ为二维参数向量, 用上述方法计算Duffing系统在双参数平面上TLE的特性分布, 参数平面被分成1 000×1 000个胞。当μ为多维参数向量时, 该方法同样适用。

2 参数平面上系统的分岔特性

对于Duffing方程

取系统固定参量a1=3.5, c=1.0, b=1.0, 以aω为参数变量根据上述方法计算Duffing系统在ω-a参数平面上TLE的分布, 变化参量a∈[0.01, 1.5], ω∈[0.05, 4], 如图 1所示, 图中浅灰色区域为系统TLE小于零的稳定周期区域, 深灰色区域为系统TLE大于零的混沌区域, 黑色实线为系统的分岔曲线, 其最大李雅普诺夫指数近似等于零。曲线PBi(i=1, 2, 3) 为叉式分岔曲线, DBi(i=1, 2) 为周期倍化分岔曲线, S1S2为周期跳跃曲线, 当系统运动经过该曲线时系统由一种周期运动跳跃为另一种周期运动。

图 1 系统在双参数平面上的分岔特性

图 1左下角系统出现深灰色混沌带和各种分岔曲线, 表明当系统外激励频率ω和阻尼系数a较小时, 周期运动和混沌运动交替出现, 系统在该区域内的动力学特性变得极为复杂。右边区域内, 叉式分岔曲线PB1与周期跳跃曲线S1相交, 相交后PB1消失; 系统在倍周期分岔曲线环DB1内出现倍周期分岔曲线环DB2, 在DB2内又出现了新的倍周期分岔曲线环, 系统在倍周期分岔曲线环内不断出现新的倍周期分岔曲线环, 使得系统最终经倍周期分岔序列进入混沌运动; 同样, 这些倍周期分岔曲线环和混沌区域不断向下延伸并与周期跳跃曲线S1相交, 相交后倍周期分岔曲线环和混沌运动消失; 在混沌区域和倍周期分岔曲线环右边系统出现了新的叉式分岔曲线PB2和周期跳跃曲线S2, 曲线PB2与倍周期分岔曲线DB2和周期跳跃曲线S1相交, 而周期跳跃曲线S2与倍周期分岔曲线DB1相交, 相交后曲线DB1消失。可见, 系统运动经过周期跳跃曲线S1后, 其分岔特性变得非常复杂, 下面结合系统单参数分岔图具体分析其分岔过程。

其它参数与图 1保持一致, 取a=0.925计算系统随ω变化的单参数分岔图如图 2a)所示, 当ω=1.704 1时系统发生一次周期跳跃, 对应图 1中周期跳跃曲线S1, 跳跃前后系统相轨图明显缩小, 但均为周期一运动, 图 3a)图 3b)分别为系统在跳跃前后的相图; 当ω=1.868 2时系统发生叉式分岔, 对应图 1中叉式分岔曲线PB1, 在该分岔点之后, 系统对初值具有较强的敏感性, 在不同初值条件下系统相轨图不同, 图 3c)为系统在ω=2.0时不同初值条件下的相轨(分别用黑色粗线和细线表示); 随ω的继续增加, 当ω=2.212 3时系统发生倍化分岔, 由周期一倍化为周期二运动, 当ω=2.505 3时系统发生逆周期倍化分岔, 由周期二退化为周期一运动, 对应图 1中倍周期分岔曲线环DB1, 系统同样对初值具有较强的敏感性, 图 3d)中黑色粗线和细线分别表示系统在ω=2.3时不同初值条件下的相轨。

图 2 ω∈[0.05, 4]时系统单参数分岔图
图 3 a=0.925时系统相图

保持其它参数不变, 取a=0.621计算系统随ω变化的单参数分岔图如图 2b)所示, 随ω的增加, 当ω=0.639 8时系统发生叉式分岔, 在分叉过程中出现缺边现象, 当ω=1.041时系统发生逆叉式分岔, 这种缺边现象消失, 系统进入稳定的周期一运动, 对应图 1中叉式分岔曲线环PB3; 随ω继续增加, 当ω=2.118时, 系统发生周期跳跃, 对应图 1中曲线S1, 随后系统经倍周期分岔序列依次由周期一倍化为周期二和周期四运动, 后经逆倍化序列退化为周期二和周期一运动, 其分别对应图 1中倍周期分岔曲线环DB1DB2; 图 1中由于叉式分岔曲线PB1被周期跳跃曲线S1截断, 故在该过程中并没有出现图 2a)中的叉式分岔PB1。此外, 图 1中倍周期分岔曲线环DB1内嵌套倍周期分岔曲线环DB2, 故在图 2b)中两倍周期分岔点DB1之间出现了新的两倍周期分岔点。

保持其它参数不变, 取a=0.613计算系统随ω变化的单参数分岔图如图 2c)所示, 系统经叉式分岔曲线环PB3之后, 当ω=2.127 3时系统由周期一跳跃为周期二运动, 对应图 1中, 由于倍周期分岔曲线DB1被周期跳跃曲线S1截断, 故系统经过曲线S1之后并没有跳跃为周期一运动而是周期二运动, 后经倍周期分岔序列进入混沌运动, 随ω进一步增加, 系统经逆倍化分岔序列退化为稳定周期一运动。

保持其它参数不变, 取a=0.525计算系统随ω变化的单参数分岔图如图 2d)所示, 系统在频率较小区间内出现混沌运动, 而且分岔曲线变得不光滑, 系统在该区间内的动力学特性变得非常复杂, 对应图 1左下角区域。随ω的增加, 当ω=2.310 3时系统由周期一运动直接跳跃为混沌运动, 后经逆倍化分岔序列由混沌运动退化为稳定的周期一运动; 对应图 1中, 由于混沌区域左边的一系列分岔曲线环被周期跳跃曲线S1截断, 故在混沌运动左边系统并没有出现倍周期分岔, 而是由周期一经跳跃曲线S2直接进入混沌运动。

保持其它参数不变, 取a=0.425计算系统随ω变化的单参数分岔图如图 2e)所示, 系统在频率较小区间内出现混沌运动, 随ω的增加, 系统经叉式分岔曲线PB3之后, 在ω=2.587时由周期一运动直接跳跃为混沌运动, 随后经逆倍化分岔序列退化为分岔过程具有缺边现象的周期三运动, 当ω=2.863 7时经一次逆叉式分岔进入稳定的周期三运动, 随ω进一步增加, 当ω=3.374 6时系统由周期三跳跃为周期一运动; 对应图 1中, 当a=0.425时, 随ω的增加系统经过周期跳跃曲线S1之后, 先后经历了叉式分岔曲线PB2和周期跳跃曲线S2

保持其它参数不变, 取a=0.34计算系统随ω变化的单参数分岔图如图 2f)所示, 系统在频率较小区间内出现混沌运动和周期窗口, 随ω的增加系统经叉式分岔曲线PB3之后, 在ω=2.911时由周期一跳跃为分岔过程具有缺边现象的周期三运动, 当ω=3.037时系统经过一次逆叉式分岔, 缺边现象消失, 系统进入稳定周期三运动, 当ω=3.732时系统由周期三跳跃为周期一运动; 对应图 1中, 当a=0.34时系统经过曲线PB3之后, 先后经历周期跳跃曲线S1和叉式分岔曲线PB2, 最后经过周期跳跃曲线S2后退化为稳定的周期一运动。

由以上分析可知, 图 2图 1相吻合, 系统在参数平面ω-a上出现周期跳跃曲线和叉式分岔、倍周期分岔等各种分岔曲线, 而且这些曲线与周期跳跃曲线相交, 使得系统在双参数平面上的分岔特性变得非常复杂。

3 结论

本文给出的参数空间系统TLE的计算方法, 为研究多参数耦合对系统动力学特性的影响提供简单而有效的方法。通过计算Duffing系统在双参数平面上的TLE, 得到系统在参数平面上精确地分岔曲线, 结合单参数分岔图, 详细分析了Duffing系统的双参数特性以及系统在参数平面上的分岔演变过程。当系统外激励频率ω和阻尼系数a较小时, 系统出现周期运动和混沌运动相交替的现象, 此时系统动力学特性变得非常复杂; 当ωa较大时系统出现叉式分岔和倍周期分岔等各种分岔曲线, 这些分岔曲线与周期跳跃曲线相交, 而且相交后消失, 使得系统在双参数平面上的分岔特性变得非常丰富, 这种现象在单参数分岔过程以及其它双参数分叉图上未曾遇见过。与其它方法相比, 用本文方法计算系统在参数平面上TLE不仅得到系统在参数平面上稳定的周期区域和不稳定的混沌区域, 还得到各种分岔曲线。另外, 当参数变量数大于2时, 即该方法同样适用于三维参数空间或高维参数空间。

参考文献
[1] 洪灵, 徐健学. 两参量平面上双重激变尖点研究[J]. 物理学报, 2002, 51(12): 2694–2701  
Hong L, Xu J X. A study on the double crisis vertex in a two-parameter plane[J]. Acta Physica Sinica, 2002, 51(12): 2694–2701 (in Chinese) DOI:10.3321/j.issn:1000-3290.2002.12.006
[2] 孙清, 张斌, 刘正伟, 等. 含双时滞振动主动控制系统超谐共振及亚谐共振分析[J]. 工程力学, 2010, 27(12): 84–89  
Sun Q, Zhang B, Liu Z W, et al. Analysis of superharmonic and subharmonic resonance responses of active vibration control system with double time delay[J]. Engineering Mechanics, 2010, 27(12): 84–89 (in Chinese)
[3] 吴志强, 张振华, 郝颖. 双线性双滞后环系统的约束分岔[J]. 物理学报, 2011, 60(12): 66–73  
Wu Z Q, Zhang Z H, Hao Y. Constrained bifurcations of the system with double-loop bilinear hysteresis[J]. Acta Physica Sinica, 2011, 60(12): 66–73 (in Chinese)
[4] 秦朝红. 非线性动力学双参量奇异性方法及其工程应用[D]. 哈尔滨位: 哈尔滨工业大学, 2010
Qin C H. Singularity method for nonlinear dynamical analysis of systems with two parameters and its application in engineering[D]. Harbin:Harbin Institute of Technology, 2010(in Chinese) http://cdmd.cnki.com.cn/article/cdmd-10213-1011278948.htm
[5] Mason J F, Piiroinen P T. Interactions between global and grazing bifurcations in an impacting system[J]. Chaos, 2011, 21(1): 013113 DOI:10.1063/1.3551502
[6] Thota P, Krauskopf B, Lowenberg M. Multi-parameter bifurcation study of shimmy oscillations in a dual-wheel aircraft nose landing gear[J]. Nonlinear Dynamics, 2012, 70(2): 1675–1688 DOI:10.1007/s11071-012-0565-1
[7] Li X F, Chu Y D, Zhang H. Fractal structures in a generalized square map with exponential terms[J]. Chinese Physics B, 2011, 21(3): 030203
[8] Ramírez-Ávila G M, Gallas J A C. How similar is the performance of the cubic and the piecewise-linear circuits of Chua?[J]. Physics Letters A, 2010, 375(2): 143–148 DOI:10.1016/j.physleta.2010.10.046
[9] 杨娟, 卞保民, 彭刚, 等. 随机信号双参数脉冲模型的分形特征[J]. 物理学报, 2011, 60(1): 010508  
Yang J, Bian B M, Peng G, et al. The fractal character of two-parameter pulse model for random signal[J]. Acta Physica Sinica, 2011, 60(1): 010508 (in Chinese)
[10] Gou X F, Zhu L Y, Chen D L. Bifurcation and chaos analysis of spur gear pair in two-parameter plane[J]. Nonlinear Dynamics, 2015, 79(3): 2225–2235 DOI:10.1007/s11071-014-1807-1
[11] 苟向锋, 陈代林. 双参变量下齿轮-转子系统扭转振动特性分析[J]. 工程力学, 2014, 31(11): 211–217  
Gou X F, Chen D L. Dynamic analysis on torsional vibration of gear-rotor system in two parameters plane[J]. Engineering Mechanics, 2014, 31(11): 211–217 (in Chinese)
[12] 谭涛亮, 张尧, 钟庆. 交直流互联系统的多参数分岔分析[J]. 电力自动化设备, 2012, 32(2): 23–28  
Tan T L, Zhang Y, Zhong Q. Multi-parameter bifurcation analysis of AC/DC power system[J]. Electric Power Automation Equipment, 2012, 32(2): 23–28 (in Chinese)
[13] Zhang C, Bi Q S. On two-parameter bifurcation analysis of the periodic parameter-switching Lorenz oscillator[J]. Nonlinear Dynamics, 2015, 81(1-2): 577–583 DOI:10.1007/s11071-015-2012-6
[14] Luo G W, Lv X H, Shi Y Q. Vibro-impact dynamics of a two-degree-of freedom periodically-forced system with a clearance:diversity and parameter matching of periodic-impact motions[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2014, 65: 173–195 DOI:10.1016/j.ijnonlinmec.2014.04.013
[15] 吴淑花, 孙毅, 郝建红, 等. 耦合发电机系统的分岔和双参数特性[J]. 物理学报, 2011, 60(1): 84–92  
Wu S H, Sun Y, Hao J H, et al. Bifurcation and dual-parameter characteristic of the coupled dynamos system[J]. Acta Physica Sinica, 2011, 60(1): 84–92 (in Chinese)
[16] 刘秉正, 彭建华. 非线性动力学[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004
Liu B Z, Peng J H. Nonlinear dynamics[M]. Beijing: Higher Education Press, 2004 (in Chinese)
DOI: 10.13433/j.cnki.1003-8728.2017.0905
中华人民共和国工业和信息化部主管、西北工业大学主办。
0

文章信息

张艳龙, 石建飞, 王丽
Zhang Yanlong, Shi Jianfei, Wang Li
双参数平面上Duffing系统TLE的计算与分岔分析
Calculating Top Lyapunov Exponent of Duffing System on Two-parameter Plane and Analyzing its Bifurcation
机械科学与技术, 2017, 36(9): 1340-1344
Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering, 2017, 36(9): 1340-1344.
DOI: 10.13433/j.cnki.1003-8728.2017.0905

文章历史

收稿日期:2016-09-05

相关文章

工作空间