多相材料的柔性机构拓扑优化设计
张永红, 桑阳, 葛文杰, 徐磊     
西北工业大学 机电学院, 西安 710072
摘要: 基于变密度法建立了多相材料的插值模型,并建立了以结构输出点位移最大为目标、材料体积为约束的多相材料柔性机构拓扑优化数学模型。运用移动渐近线方法对微型柔性夹钳设计开展拓扑优化并对结果进行分析。结果表明:基于多相材料的柔性机构拓扑优化方法能大幅降低拓扑结构的最大应力水平,但也一定程度上减小了结构输出点的位移。整体而言,该方法具有可行性,能有效解决工程中遇到的因应力过大而导致的结构失效问题。
关键词: 柔性机构     多相材料     拓扑优化     优化算法     柔性夹钳    
Topology Optimization Design of Compliant Mechanisms for Multiphase Materials
Zhang Yonghong, Sang Yang, Ge Wenjie, Xu Lei     
School of Mechanical Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi'an 710072, China
Abstract: Based on the variable density method, the interpolation model for multiphase materials is established, and the topology optimization model for the compliant mechanisms with the maximum displacement of the structure and the material volume as the constraint is established. The miniature flexible clamp for example, with the Method of moving asymptotes(MMA) to complete the calculation, and the topology results are analyzed. The results show that the topology optimization method of compliant mechanisms for multiphase materials is feasible, which can significantly reduce the maximum stress level of the topology structure, but also to a certain extent, the displacement of the output point of the structure is reduced. As a whole, the method is feasible, and can effectively solve the problem of structural failure caused by excessive stress in the project.
Key words: compliant mechanisms     multiphase materials     topology optimization     flexible clamp    

随着科技的进步发展, 单一材料的柔性机构设计已无法满足某些使用要求, 而使用多相材料能保证机构的刚柔并济, 能改善机构整体性能并使其内部应力不超过材料的许用应力。因此, 基于材料和结构的轻量化、多功能化等综合性要求, 最大限度地挖掘设计潜力, 材料和结构设计已从传统的单一材料发展到多相材料的匹配优化设计。

目前采用多相材料进行的拓扑优化设计研究相对较少。Thomsen[1]率先进行了多相材料的拓扑优化设计研究。Sigmund[2-4]采用两相实体材料与空洞进行了柔性机构拓扑优化研究和具有极端热膨胀特性的微结构构型优化。Yin和Ananthasuresh[5]用单个变量描述多相材料条件下的材料属性, 提出了峰值函数多相材料插值模型。Wang和Zhou[6-7]提出了基于相场理论的多相材料拓扑优化方法。Ren等[8]以最大机械增益为目标, 各相材料体积为约束, 研究了多相材料柔性夹钳的拓扑优化设计。孙士平和张卫红[9-10]研究了多相材料微结构的多目标设计。

本文中采用变密度法建立多相材料插值模型, 建立以输出点位移最大为目标、材料体积为约束的多相材料柔性机构拓扑优化数学模型。以微型夹钳为例, 采用移动渐近线方法(Method of moving asymptotes, MMA)基于MATLAB完成求解计算, 并对结果进行分析对比。

1 多相材料的SIMP插值方法

目前拓扑优化的材料插值方法有均匀化方法[11-12]、变密度法[13-14]及峰值函数插值方法等。变密度法原理简单、设计变量少、容易实现、计算效率高, 已经成为拓扑优化领域的主要方法。Sigmund和Bendsoe等[15-16]深入研究了变密度法材料插值模型, 提出了固体各向同性材料惩罚密度插值理论, 即SIMP理论。该方法已经被广泛应用在单相材料拓扑优化问题上, 并衍生出多相材料的SIMP-like插值模型[17]。本文中即采用SIMP插值方法来建立多相材料柔性机构拓扑优化模型。

以三相材料(即两相实体材料和空洞)为研究对象, 基于SIMP插值理论, 材料插值模型[17]可表示为

    (1)

式中:Ei表示插值后第i个单元的弹性模量; E1E2分别表示实体材料1和实体材料2的弹性模量, 且E1E2; p1p2均为惩罚因子, 一般取2~4, 这里取均值3;xi1xi2分别表示材料的有无及何种实体材料; xi1(0≤xi1≤1) 为两种实体材料的混合单元密度; xi2(0≤xi2≤1) 表示实体材料1在两种材料混合物中的单元密度; N为单元总数。两种实体材料的实际密度可表示为:

    (2)

对于单元密度xi1xi2, 不同的组合表示不同的材料状态, 即

    (3)

实体材料1、实体材料2和空洞在结构中的分布如图 1所示。

图 1 三相材料的分布图
2 多相材料柔性机构拓扑优化 2.1 拓扑优化的数学模型

基于式(1) 所示的多相材料SIMP材料插值方法, 结合有限元方程, 以结构输出点处位移最大为目标, 单元相对密度为设计变量, 以材料体积分数为约束, 建立的拓扑优化数学模型为:

    (4)

式中:x为设计变量矩阵; xi1为两种实体材料的混合单元相对密度; xi2为两种实体材料混合物中材料1的单元相对密度; F为输入外载荷向量; K为整体刚度矩阵; UF作用下各节点的位移向量; L为伴随矩阵载荷向量; VL作用下各节点的位移向量; vi为第i个单元的体积; V1为整个机构中实体材料1的目标体积; V2为整个机构中实体材料2的目标体积; xmin为单元相对密度的最小值; N为设计域离散后的单元总数量。

2.2 敏度分析

柔性机构拓扑优化问题的求解一般需要求解目标函数和约束函数对设计变量的敏度信息, 它是指目标函数和约束函数对设计变量变化的敏感程度, 对优化问题的收敛与否有着决定性影响。

基于式(1) 所示的多相材料SIMP材料插值模型, 由有限元刚度矩阵组装原理可知:

    (5)

式中ki1ki2分别对应两种材料下的单元刚度矩阵。由刚度矩阵的对称性和KV=L可得

    (6)

将式(5) 和式(6) 代入式(4) 中可得:

    (7)

式中:vi为由L作用引起的伴随节点位移向量; ui为由F作用引起的节点位移向量。

由于设计变量中包含两种材料的单元相对密度, 在进行敏度分析时, 应该分别对xi1xi2求导函数。所以, 结合敏度分析方法和有限元刚度组装原理可知

    (8)

故目标函数对设计变量的敏度可表示如下:

    (9)
    (10)
2.3 MMA优化算法理论

移动渐近线方法(MMA)由瑞典数学家Svanberg[18-19]提出, 它基于凸近似线性化方法(Convex linearization method, CONLIN)。其近似函数用原函数在当前设计点处的一阶导变量的泰勒展开式表示, 通过引入移动渐近线将隐式的优化问题转化为更简单的凸显式近似子优化问题, 然后用“对偶法”或“原始对偶内点法”求解凸线性显式化子问题, 用子问题的解不断逼近原问题的解。此方法能够处理目标函数非凸或复杂且具有多约束的非线性优化问题, 但迭代次数多, 优化效率低。

MMA方法通常用于数学规划类问题, 而连续体结构拓扑优化设计是典型的非线性数学规划问题。其模型如下:

    (11)

在使用MMA方法求解问题时, 若初始迭代点选择不当, 会使子优化问题难以得到可行解。故在优化模型中引入人工变量zyi以改善子问题的性态, 则式(11) 所表示的优化模型可转化为:

    (12)

式中:f0(x)和fi(x)为连续可微的实值函数; 实数a0, ai, ci, di满足, a0 > 0, ai≥0, ci≥0, ci+di > 0, 且有aici > 0, 通常情况下, 取a0=1, ai=0, ci=1 000/ci=10 000, di=0。

将(12) 转化成MMA子问题的数学模型为:

    (13)

式中:lj(k)uj(k)分别为较小和较大移动渐近线, 可动态调整子问题的凸性。基于CONLIN方法, 并引入lj(k)uj(k)可得原数学模型中目标和约束函数的近似统一形式:

    (14)

    (15)

式中:

    (16)
    (17)
    (18)

式(16) 和式(17) 中的参数ρi=10-5, 且

    (19)
    (20)

但移动渐近线lj(k)uj(k)不是固定不变的, 而随着迭代点xj(k)的更新而更新, 且:

当迭代次数k=1和k=2时,

    (21)

k≥3时,

    (22)

式中,

    (23)

另外, 移动渐近线lj(k)uj(k)还满足以下条件:

    (24)

若违背了式(24) 中的任意一个边界条件, 则将该条件不等式右边的值赋给相应的移动渐近线lj(k)uj(k)

MMA优化算法的迭代步骤为:

1) 选择初始迭代点x1, 令k=1;

2) 假设迭代点为x(k), 计算fi(x(k))和fi(x(k)), i=0, 1, 2…m;

3) 根据步骤2) 中得到的相关信息构造近似子问题来替代原问题, 即用fi(k)代替fi;

4) 求解子问题, 将子最优解作为下一次的迭代点x(k+1), 令k=k+1, 返回步骤2)。

2.4 拓扑优化的实现流程

MMA优化算法的求解过程包括两个循环迭代过程, 即内部迭代和外部迭代过程。设内部循环和外部循环的迭代次数分别用kt表示。由MMA算法理论可知, 每一次外部循环开始前必须计算目标和约束的函数值及敏度值, 而每一次内部循环开始前则只需计算函数值。故基于MMA优化算法的多相材料柔性机构拓扑优化流程如图 2所示。

图 2 MMA算法拓扑优化流程图
3 微型柔性夹钳的设计

图 3所示, 为一平面微型柔性夹钳的结构示意图。设计域大小为60 μm×60 μm, 其右侧中部有1个12 μm×12 μm的缺口。白色和黑色区域分别表示空洞和实体材料。要求在左侧水平外力Fin的作用下右边的缺口两端产生位移而夹紧。输入力Fin=1 000 μN, 输入端和输出端虚拟弹簧刚度分别为:kin=0.1 N/mm, kout=0.1 N/mm, 两种材料的弹性模量分别为:E1=100 GPa, E2=10 GPa, 泊松比相等且υ=0.3。文中选用的两种不同弹性模量的材料仅为了证明多相材料拓扑优化设计的可行性, 材料的选择并未考虑材料的具体牌号和这两种材料是否能结合等因素, 需要更深入的研究。

图 3 初始化设计域

在优化中, 取单相材料体积比为50%, 多相材料的两种材料体积比分别为30%和20%, 由于对称性只对设计域的上半部分进行分析。

3.1 拓扑结构的结构分析

图 4为三相材料(其中一种材料为空洞)微型柔性夹钳的拓扑结构。

图 4 三相材料微型夹钳的拓扑结构

图 4a)~图 4c)依次为两种实体材料共同构成的拓扑结构、实体材料1构成的拓扑结构和实体材料2构成的拓扑结构。图 4a)中红色区域对应实体材料1, 绿色对应实体材料2, 蓝色对应空洞材料。可以看出, 两种材料组合下所得到的柔性夹钳拓扑结构清晰, 且实体材料2均匀分布在实体材料1的边缘。材料1具有较大的弹性模量, 能有效承担结构所承受的主要载荷, 应该在里层, 而材料2具有较小的弹性模量, 能承担部分载荷, 并使结构柔性增大, 应该在外层, 且能有效降低结构整体的应力水。综上, 表明多相材料的柔性机构拓扑优化设计方法是可行的。

3.2 拓扑结构的应力分析

图 5a)图 5b)别为三相材料及其对应单相材料的微型柔性夹钳应力图。其中, 图 5a)为两种实体材料组合下的应力图, 图 5b)为弹性模量E1的单相实体材料下的应力图。

图 5 微型夹钳的应力图

对比图 5a)图 5b)可看出, 多相材料柔性夹钳拓扑结构中的最大应力水平低于单相材料柔性夹钳拓扑结构中的最大应力水平。

表 1为多相材料和单相材料微型夹钳结构中的最大应力值σvmmax和相应的应力降低百分比。

表 1 多相材料和单相材料最大应力值
分类 σvmmax/GPa
多相材料 0.122
单相材料 0.499
注:多相材料相对于单相材料的微型夹钳最大应力值降低了75.5%。
3.3 拓扑结构输出点位移分析

图 6为三相材料及其对应的单相材料微型柔性夹钳输出点位移线图。其中, 图 6a)是两种实体材料弹性模量组合下的微型夹钳输出点位移线图, 图 6b)是对应实体材料弹性模量E1的夹钳输出点位移线图。

图 6 微型夹钳输出点位移线图

图 6可看出, 多相材料夹钳输出点的位移值小于单相材料夹钳输出点的位移值。

表 2为多相材料和单相材料微型夹钳的结构输出点位移值及其减小的百分比。结合表 1数据可得, 相对于应力水平的降低程度, 输出点位移的减小程度较小。

表 2 多相材料和单相材料输出点位移值
分类 uout/μm
多相材料 0.010 6
单相材料 0.013 2
注:多相材料微型夹钳输出点位移相对单相材料微型夹钳输出点位移减小了19.7%。
4 结论

基于MMA优化算法理论和多相材料SIMP插值方法, 采用位移法以结构输出点位移最大为目标、材料体积为约束建立拓扑优化数学模型, 并进行敏度分析, 最后以微型柔性夹钳为例, 采用MMA优化算法基于MATLAB编码完成优化求解, 得出夹钳的拓扑结构图、应力图和输出点位移线图。由结果分析可得出:

1) 基于多相材料的柔性机构拓扑优化设计方法是可行的。

2) 采用多相材料进行柔性机构的拓扑优化设计能够大幅度降低拓扑结构的最大应力水平, 但在一定程度上减小了结构输出点的位移值。

综上, 根据计算结果, 虽然拓扑结构输出点位移有所减小, 但减小程度相对于结构应力水平的降低程度而言较小。因此, 基于多相材料的柔性机构拓扑优化设计能够有效解决工程中遇到的因结构应力过大而导致的的结构失效问题。

参考文献
[1] Thomsen J. Topology optimization of structures composed of one or two materials[J]. Structural Optimization, 1992, 5(1-2): 108–115 DOI:10.1007/BF01744703
[2] Sigmund O, Torquato S. Design of materials with extreme thermal expansion using a three-phase topology optimization method[C]//Proceedings of the SPIE 3040, Smart Structures and Materials 1997:Smart Materials Technologies, March 3, 1997, San Diego, CA. San Diego, CA:SPIE, 1997, 3040:52-60
[3] Sigmund O. Design of multiphysics actuators using topology optimization-part Ⅱ:two-material structures[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2001, 190(49-50): 6605–6627 DOI:10.1016/S0045-7825(01)00252-3
[4] Gibiansky L V, Sigmund O. Multiphase composites with extremal bulk modulus[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2000, 48(3): 461–498 DOI:10.1016/S0022-5096(99)00043-5
[5] Yin L, Ananthasuresh G K. Topology optimization of compliant mechanisms with multiple materials using a peak function material interpolation scheme[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2001, 23(1): 49–62 DOI:10.1007/s00158-001-0165-z
[6] Wang M Y, Zhou S W. Synthesis of shape and topology of multi-material structures with a phase-field method[J]. Journal of Computer-Aided Materials Design, 2004, 11(2-3): 117–138 DOI:10.1007/s10820-005-3169-y
[7] Zhou S W, Wang M Y. Multimaterial structural topology optimization with a generalized Cahn-Hilliard model of multiphase transition[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2007, 33(2): 89–111
[8] Ren L, Yang R, Mi D H, et al. Topology optimization design for micro compliant mechanism with two materials[C]//Proceedings of the SPIE 6042, ICMIT 2005:Control Systems and Robotics, September 20, 2005, Chongqing, China. Chongqing, China:SPIE, 2005, 6042:60424A
[9] 孙士平, 张卫红. 多相材料微结构多目标拓扑优化设计[J]. 力学学报, 2006, 38(5): 633–638  
Sun S P, Zhang W H. Multiple objective topology optimal design of multiphase microstructures[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2006, 38(5): 633–638 (in Chinese)
[10] 孙士平, 张卫红. 多相材料结构拓扑优化的周长控制方法研究[J]. 航空学报, 2006, 27(5): 963–968  
Sun S P, Zhang W H. Investigation of perimeter control methods for structural topology optimization with multiphase materials[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2006, 27(5): 963–968 (in Chinese)
[11] Bendsϕe M P, Kikuchi N. Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1988, 71(2): 197–224 DOI:10.1016/0045-7825(88)90086-2
[12] Bendsϕe M P. Optimal shape design as a material distribution problem[J]. Structural Optimization, 1989, 1(4): 193–202 DOI:10.1007/BF01650949
[13] Mlejnek H P, Schirrmacher R. An engineer's approach to optimal material distribution and shape finding[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1993, 106(1-2): 1–26 DOI:10.1016/0045-7825(93)90182-W
[14] Sigmund O. Design of material structures using topology optimization[D]. Denmark:Technical University of Denmark, 1994 https://link.springer.com/article/10.1007/s00158-003-0362-z
[15] Svanberg K. The method of moving asymptotes-a new method for structural optimization[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1987, 24(2): 359–373 DOI:10.1002/(ISSN)1097-0207
[16] Svanberg K. The MMA for modeling and solving optimization problems[C]//Proceedings of the 3rd World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimization, May 17-21, Buffalo. New York:[s.n.], 1999
[17] Bendsϕe M P, Sigmund O. Material Interpolation schemes in topology optimization[J]. Archive of Applied Mechanics, 1999, 69(9-10): 635–654 DOI:10.1007/s004190050248
[18] Svanberg K. The method of moving asymptotes-a new method for structural optimization[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1987, 24(2): 359–373 DOI:10.1002/(ISSN)1097-0207
[19] Svanberg K. The MMA for modeling and solving optimization problems[C]//Proceedings of the 3rd World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimization, May 17-21, Buffalo. New York:[s.n.], 1999
DOI: 10.13433/j.cnki.1003-8728.2017.0902
中华人民共和国工业和信息化部主管、西北工业大学主办。
0

文章信息

张永红, 桑阳, 葛文杰, 徐磊
Zhang Yonghong, Sang Yang, Ge Wenjie, Xu Lei
多相材料的柔性机构拓扑优化设计
Topology Optimization Design of Compliant Mechanisms for Multiphase Materials
机械科学与技术, 2017, 36(9): 1320-1326
Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering, 2017, 36(9): 1320-1326.
DOI: 10.13433/j.cnki.1003-8728.2017.0902

文章历史

收稿日期:2016-06-13

相关文章

工作空间